96. 不同的二叉搜索树

96. 不同的二叉搜索树

题目链接：96. 不同的二叉搜索树(中等)

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示：

• 1 <= n <= 19

解题思路

1. 确定dp数组以及其下标的含义

   dp[i]表示1到i为节点值组成的不同二叉搜索树的个数

2. 确定递推公式

   dp[i] += dp[以j(1<=j<=i)为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]。j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。

   所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; j-1为j为头结点左子树节点数量，i-j为以j为头结点右子树节点数量

3. dp数组的初始化

   dp[0] = 1（空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树）

4. 确定遍历顺序

   首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠i之前节点数的状态。

   那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。

5. 举例推导dp数组

   当n = 5时,dp数组如下

   

C++

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        //dp[i]表示1到i为节点值组成的不同二叉搜索树的个数
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = 0;
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

JavaScript

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var numTrees = function(n) {
    const dp = new Array(n + 1).fill(0);
    dp[0] = 1;
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        for (let j = 0; j < i; j++) {
            dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
        }
    }
    return dp[n];
};

• 时间复杂度：O(n^2)

• 空间复杂度：O(n)