蔡廷常数与哥德巴赫猜想

之前看到的，挺有意思记录一下。

蔡廷常数

蔡廷常数（Chaitin's constant，通常记为 \(\Omega\) )）是算法信息论中的一个数学常数，它代表了一个随机生成的程序在通用图灵机上能够最终停机的概率。

是一个确定的，介于0到1之间的常数。

是一个不可计算的常数。

不存在任何图灵机能输出 \(\Omega\) 的任意精度二进制位，这一结论和停机问题不可解等价。

哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想是：所有大于 2 的偶数都可表示为两个素数之和。属于找到单个反例即可证伪的命题。

所以我们可以构造一个固定长度的图灵机 G（假设随机生成G的概率为p）：它从 4 开始逐个遍历偶数，检查每个偶数是否能拆分为两个素数之和；若找到无法拆分的偶数，立即停机；若永远找不到反例，就无限运行。由此得到等价关系：

哥德巴赫猜想为真：图灵机 G 永不停机

哥德巴赫猜想为假：图灵机 G 最终停机

两者的关系

如果蔡廷常数是可计算的，那么可以跑部分图灵机（要求这部分图灵机被随机生成的概率总和满足：概率总和>1-p，即没有跑的图灵机被随机生成的概率总和满足：概率总和<p），边跑边计算所有停机的图灵机被随机生成的概率的总和，记为sum。当sum+p>\(\Omega\)时，可知图灵机G不会停机，故哥德巴赫猜想成立。

当然上述“跑部分图灵机”有点绕，可以这样，跑所有的图灵机，边跑边计算所有停机的图灵机被随机生成的概率的总和，记为sum。当sum+p>\(\Omega\)时，可知图灵机G不会停机，故哥德巴赫猜想成立。所有图灵机是无穷多的，不能一起跑，怎么办？我们也不能跑完一个再跑下一个，因为有些图灵机是不会停机的。可以这样：先让所有长度<=1的图灵机跑一步，然后长度<=2的跑一步，<=3的跑一步，依此类推，这样也是跑所有的图灵机。

当然上述的前提就不成立：蔡廷常数是不可计算的。所以没那么容易证明/证伪哥德巴赫猜想。