一些 病态函数

本文结合豆包AI生成。

在看一本书时作者提到他很喜欢收集一些比较奇葩的函数，这种函数叫病态函数。有一些他只提到了性质没说具体是什么函数。这里整理一下。

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1. 处处连续但处处不可导的函数

代表：魏尔斯特拉斯函数（Weierstrass function）

它是1872年数学家魏尔斯特拉斯构造的里程碑式反例，颠覆了当时很多数学家的认知。

构造：\(W(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x)\)，其中 \(0<a<1\)，\(b\) 为正奇数，且满足 \(ab>1+\frac{3}{2}\pi\)。

核心性质：

1. 全体实数域上处处连续；

2. 全体实数域上处处不可导。

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2. 处处连续但只在一点可导的函数

这类函数是在魏尔斯特拉斯函数的基础上改造而来，是精准控制可导点的经典反例。

构造：设 \(W(x)\) 是魏尔斯特拉斯函数（处处连续、处处不可导），令 \(f(x)=x^2\cdot W(x)\)。

性质：

1. 处处连续；

2. 仅单点可导：仅在 \(x=0\) 处，通过导数定义可算出 \(f'(0)=0\)，满足可导条件；在所有 \(x≠0\) 的位置，\(f(x)\) 都不可导。

这个构造可以推广，做出仅在任意指定的一个点可导、其余所有点都不可导的连续函数。

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3. 连续单调递增但导数几乎处处为0的函数

代表：康托函数（Cantor function），也叫魔鬼阶梯函数，链接：https://www.desmos.com/calculator/endd6wqafd?lang=zh-CN

建议先了解一下康托三分集。

构造：定义在 \([0,1]\) 区间上，在康托三分集的补集（被挖去的所有开区间）上，函数取固定常数值；在测度为0的康托集上，函数按层级递增，最终从0单调上升到1。

性质：

1. 在 \([0,1]\) 上连续、单调不减（也可构造严格递增版本）；

2. 导数几乎处处为0：在测度为1的补集区间上，函数是常数，导数为0；仅在测度为0的康托集上有非平凡的变化。

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4. 连续单调递增并趋于某个上界但导数并不趋于0的函数

挖坑，后面填

补充：康威十三进制函数（Conway base-13 function）是由英国数学家约翰·康威构造的一种极其病态的实变实值函数。该函数在任何非空开区间上的值域都覆盖全体实数。