有意思的数学小问题集合

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海盗分金问题

问题

有五个海盗，在海上抢来了一百个金子。五个海盗都很贪婪，他们都希望自己能分得最多的金子，但同时又都很明智。于是他们按照抽签的方法，排出一个次序。首先由抽到一号签的海盗说出一套分金的方案，如果5个人中有50％以上（不含50％）的人同意，那么便依照这个方案执行，否则的话，这个提出方案的人将被扔到海里喂鱼，接下来再由抽到二号签的海盗继续说出一套方案，然后依次类推到第五个。　　游戏规则就是这样残酷，现在问题出来了：　　如果你是抽到一号签的海盗，你计划提出一套什么样的方案，在保住小命的前提下，分得最多的金子？

答案

https://www.zhihu.com/question/27282113/answer/36075626

蓝眼睛红眼睛问题

问题

红眼睛和蓝眼睛：一个岛上有100个人，其中有5个红眼睛，95个蓝眼睛。这个岛有三个奇怪的宗教规则。

1.他们不能照镜子，不能看自己眼睛的颜色。

2.他们不能告诉别人对方的眼睛是什么颜色。

3.一旦有人知道了自己是红眼睛，他就必须在当天夜里自杀。

某天，有个旅行者到了这个岛上。由于不知道这里的规矩，所以他在和全岛人一起狂欢的时候，不留神就说了一句话：【你们这里有红眼睛的人。】

问题：假设这个岛上的人每天都可以看到其他所有人，每个人都可以做出缜密的逻辑推理，请问岛上会发生什么？

答案

https://www.zhihu.com/question/31970604/answer/108455429

三门问题

问题

有三扇关闭着的门，其中一扇门的后面有一辆汽车，另外两扇门后面各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门即可赢得汽车，否则就不能赢得任何奖品。



当参赛者选定了一扇门，但未开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，因为主持人知道哪扇门后面有汽车，主持人仅打开后面有山羊的一扇门，露出其中一只山羊。



随后，主持人会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭着的门（事实上，在节目中，蒙提·霍尔为了增加节目的刺激感，仅会打开后面有山羊的一扇门，但这时不会允许参赛者换门）。



假如你是参赛者，你要换另一扇门吗？

答案

https://zhuanlan.zhihu.com/p/79224318

贝特朗悖论

问题

在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长大于这个圆的内接等边三角形的边长的概率是多少？

答案

https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%9D%E7%89%B9%E6%9C%97%E6%82%96%E8%AE%BA/9241081
https://www.zhihu.com/question/508724991

抢红包问题

问题

微信拼手气红包1元，n个人抢，拿钱最少的人期望为1/(n^2)元，为什么？

答案

https://www.zhihu.com/question/30359365

园内取点

在一个圆里随机取n个点，它们在同一个半圆的概率是多少？

https://www.zhihu.com/question/341018905

球内取点

在一个球内任取n个点，则这n个点落在同一个半球内的概率是多少？

https://www.zhihu.com/question/342593905

互质

任取两个大于 2 的整数，其互质的概率是多少？

https://www.zhihu.com/question/443830396/answer/1725011190

抛硬币

平均要抛多少次硬币，才能出现连续两次正面向上？

https://zhuanlan.zhihu.com/p/68358814

挂谷问题

长度为1的线段在平面上做刚体移动（转动和平移），转过180度并回到原位置，扫过的最小面积是多少？

https://www.bilibili.com/video/BV1hi9FYoEWc/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.1&vd_source=c6702a090353ba3d3e9b60aac67dbd4a

交税

https://www.luogu.com.cn/problem/CF735D

见题解