二叉树

二叉树

1.树的定义与基本术语

树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构。

1.1.树的定义

树(tree)是n(n≥ 0)个结点的有限集T，当n=0时，称为空树。当n>0时，该集合满足如下条件:有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root),它没有直接前驱，但有零个或多个直接后继。其余结点可分为m(m ≥ 0)个互不相交的有限集T1，T2，T3，…，Tm ，其中每一个集合Ti本身又是一棵树，称为根的子树(subtree)。每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但有零个或多个直接后继。

注意：树的定义具有递归性，即树中还有树。

1.2.树的常用术语

  1. 结点：包含一个数据元素及若干指向其它结点的分支信息。

  2. 结点的度：一个结点的子树个数称为此结点的度。

  3. 叶结点：度为0的结点，即无后继的结点，也称为终端结点。

  4. 分支结点：度不为0的结点，也称为非终端结点。

  5. 结点的层次：从根结点开始定义，根结点的层次为1，根的直接后继的层次为2，依此类推。

  6. 孩子结点：一个结点的直接后继称为该结点的孩子结点。或：结点的子树的根称为该结点的孩子。

  7. 双亲结点：一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点。

  8. 兄弟结点：同一双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。

  9. 堂兄弟：双亲在同一层的结点称为堂兄弟结点。

  10. 祖先结点：一个结点的祖先结点是指从根结点到该结点的路径上的所有结点。

  11. 子孙结点：一个结点的直接后继和间接后继称为该结点的子孙结点。或：以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。

  12. 前辈：层号比该结点小的结点都称为该结点的前辈。

  13. 后辈：层号比该结点大的结点都称为该结点的后辈。

  14. 树的度：树中所有结点的度的最大值。

  15. 结点的层序编号：将树中结点按从上层到下层、同层从左到右的次序排成一个线性序列，依次给它们编以连续的自然数。

  16. 树的高度（深度）：树中所有结点的层次的最大值。

  17. 有序树：在树T中，如果各子树Ti之间是有先后次序的，则称为有序树。

  18. 森林：m（m≥0）棵互不相交的树的集合。将一棵非空树的根结点删去，树就变成一个森林；反之，给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树。

  19. 同构：对两棵树，通过对结点适当地重命名，就可以使两棵树完全相等（结点对应相等，对应结点相关关系也相等），则称这两棵树同构。

2.二叉树

2.1.二叉树的定义

定义:满足以下两个条件的树结构叫做二叉树（Binary Tree）：

  • 每个结点的度都不大于2；

  • 每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。

特点：

  1. 每个结点至多有二棵子树（孩子）(即不存在度大于2的结点)

  2. 二叉树的子树（孩子）有左、右之分，且其次序不能任意颠倒

2.2.二叉树的性质

  • 性质一：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i≥1)

  • 性质二：深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k≥1）

  • 性质三：对任意一棵二叉树T，若终端结点数为n0，而其度数为2的结点数为n2，则n0=n2+1

  • 性质四：具有n个结点的完全二叉树的深度为㏒2n+1。

  • 性质五: 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上到下和从左到右的顺序对二叉树中的所有结点从1开始顺序编号，则对于任意的序号为i的结点有：

  1. 如i=1，则序号为i的结点是根结点，无双亲结点；如i>1，则序号为i的结点的双亲结点序号为 i/2 。

  2. 如2×i>n，则序号为i的结点无左孩子（叶子结点）；如2×i≤n，则序号为i的结点的左孩子结点的序号为2×i。

  3. 如2×i＋1>n，则序号为i的结点无右孩子；如2×i＋1≤n，则序号为i的结点的右孩子结点的序号为2×i＋1。

2.3.构建一个二叉树

2.3.1.数据结构

typedef struct BiTNode 
{
    BiElemType data;//数据
    struct BiTNode* Lchild;
    struct BiTNode* Rchild;
}BiTNode,*BiTree;

2.3.2.初始化二叉树

  1. 利用辅助链表，指向父结点

    辅助链表的结构：

    typedef struct tag {
    BiTree p;//存的是树的结点地址
    struct tag* pnext;
}tag_t, * ptag_t;

  2. 利用循环读取创建树的结点

    int main() 
{
    BiTree pnew;
    char c;
    BiTree tree = NULL;
    ptag_t ptail = NULL, listpnew=NULL, pcur=NULL;
    while (scanf("%c", &c) != EOF)
    {
        if (c == '\n')
        {
            break;
        }
        pnew = (BiTree)calloc(1, sizeof(BiTNode));//开辟空间
        pnew->data = c;//将数据放进去
        listpnew = (ptag_t)calloc(1, sizeof(tag_t));
        listpnew->p = pnew;
        if (NULL == tree)
        {
            tree = pnew;//树的根
            ptail = listpnew;//链表尾
            pcur = listpnew;//pcur 指向父结点
            continue;
        }
        else
        {
            ptail->pnext = listpnew;//新结点放入链表，通过尾插法
            ptail = listpnew;//ptail重新指向链表尾部
        }
        if (NULL == pcur->p->Lchild) //如果左孩子为空
        {
            pcur->p->Lchild = pnew;//把新结点放到要父结点的左孩子
        }
        else if (NULL == pcur->p->Rchild) //左孩子不为空 且右孩子为空
        {
            pcur->p->Rchild = pnew;//将新结点放在父结点的右孩子
            pcur = pcur->pnext;//让父节点 移动到链表的下一个
        }
    }
}

2.4.遍历

二叉树的遍历：指按一定规律 对二叉树的每个结点进行访问且仅访问一次

先序、中序、后序遍历是递归定义的，即在其子树中亦按上述规律进行遍历。

2.4.1.先序遍历

先访问根，再遍历左子树，最后遍历右子树

算法设计：

void preOrder(BiTree p) 
{
    if (p != NULL) 
    {
        putchar(p->data);
        preOrder(p->Lchild);
        preOrder(p->Rchild);
    }
}

2.4.2.中序遍历

先遍历左子树，再访问根，最后遍历右子树

算法设计：

void InOrder(BiTree p) 
{
    if (p != NULL) 
    {
        InOrder(p->Lchild);
        putchar(p->data);
        InOrder(p->Rchild);
    }
​
}

2.4.3.后序遍历

先遍历左子树，再遍历右子树，最后访问根

算法设计：

void PostOrder(BiTree p) 
{
    if(p!=NULL)
    {
        PostOrder(p->Lchild);
        PostOrder(p->Rchild);
        putchar(p->data);
    }
}

 

 

 

 

 

 

posted @ 2022-10-20 21:40  骆宾王  阅读(82)  评论(0)    收藏  举报