计算机图形学——圆的扫描转换（基本光栅图形算法）

       与直线的生成类似，圆弧生成算法的好坏直接影响到绘图的效率。本篇博客将讨论圆弧生成的3个主要算法，正负法、Bresenham法和圆的多边形迫近法，在介绍算法时，只考虑圆心在原点，半径为R的情况。

一、正负法

1、基本原理 

假设已选取Pi-1为第i-1个像素，则如果Pi-1在圆内，就要向圆外方向走一步；若已在圆外就要向圆内走一步。
总之，尽量贴近圆的轮廓线。

2、正负法的具体实现

1）圆的表示：设圆的圆心为(0,0),半径为R，则圆的方程为：
      F(x,y)=x²+y²–R²=0  
当点(x,y)在圆内时，F(x,y)<0。
当点(x,y)在圆外时，F(x,y)>0。

2）实现步骤
第1步：x₀=0，y₀=R
第2步：
 求得Pi(x_i,y_i)后找点P_i+1的原则为：

当P_i在圆内时(F(xi,yi)≤0)，要向右走一步得P_i+1，这是向圆外方向走去。取x_i+1= x_i+1, y_i+1= y_i
当P_i在圆外时(F(xi,yi)>0)，要向下走一步得P_i+1，这是向圆内方向走去，取x_i+1= x_i, y_i+1= y_i-1

用来表示圆弧的点均在圆弧附近且 F(xi, yi)时正时负

假设已经得到点（x_i, y_i），则容易算出F(x_i, y_i)，即确定了下一个点（x_i＋1, y_i＋1），则如何计算F(x_i+1, y_i+1)，以确定下下个点（x_i＋2, y_i＋2）？

分为两种情况：
右走一步后：x_i+1=x_i+1，y_i+1=y_i，此时：
F(x_i+1, y_i+1)=x_i+1²+y_i²-R²  =x_i²+y_i²-R²+2x_i+1 = F(x_i, y_i)+2x_i+1

下走一步后：x_i+1=x_i，y_i+1=y_i-1， 此时：
F(x_i+1, y_i+1)=x_i²+（y_i-1)²-R²   = F(x_i, y_i)-2y_i+1

由此可得：

确定了F(xi+1, yi+1)之后，即可决定下一个点(xi+2, yi+2)，选择道理同上。

二、Bresenham 生成圆弧的算法

Bresenham算法是最常用的画圆的算法之一假设圆心(0,0)为原点，考虑AB弧的画法，显示一个整圆时，只要在显示AB上任一点(x,y)时，同时显示在圆周上其它七个对称点(y,x), (y,-x), (x,-y), (-x,-y),(-y,-x), (-y,x), (-x,y)。

 1、基本原理

考虑AB弧段，x每步增加1，从 x=0开始，到x=y结束。
即有：
    x_i+1=x_i+1  相应的y_i+1则在两种可能中选择 y_i+1=y_i (H_i点)或者 y_i+1=y_i-1(L_i点)
所以：
   选择的原则是确定这两个点哪一个更接近于圆弧。

 即：设Pi-1是已选中的一个表示圆弧上的点，下一个点应从H_i或L_i中选择。设H_i和L_i两点的坐标分别为(x_hi, y_hi)和(x_li, y_li)

设R为弧AB的半径，记点P到原点的距离的平方与圆的半径的平方之差为D(P)，即

 

 2、递推公式

   d_i决定的是(x_i, y_i)，即Hi和Li哪个被选中
   d_i+1则决定的是(x_i+1, y_i+1)，即H_i+1和L_i+1哪个被选中

当d_i<0时,点Hi被选中, x_i= x_i-1+1， y_i=y_i-1，由 (3.13)和(3.14)得
                  d_i+1= d_i+ 4x_i+2= d_i+ 4x_i-1+6                  
当d_i≥0时,点Li被选中, xi= xi-1+1，yi= yi-1-1，由(3.13)和(3.14)得
                d_i+1=d_i+4x_i-4y_i-1+6=d_i+4(x_i-1-y_i-1)+10

3、代码实现

 根据上面得到的递推表达式，可以获得该算法生成弧AB的代码如下：

void bresenham_arc(Graphics g,int radius)
{
    int x,y,d;
    x = 0;
    y = radius;
    d = 3-2*radius;//d1
    while (x < y)
    {
        g.drawLine(x, y, x, y);
        if (d<0)
            d=d+4*x+6;
        else
        {
            d=d+4*(x-y)+10;
            y--;
        }
        x++;
    }
    if (x == y)
        g.drawLine(x,y,x,y);
}

Bresenham算法在候选的两个像素中，总是选定离圆弧最近的像素为圆弧的一个近似点，因此，Bresenham算法比正负法决定的像素更合理。

三、圆的多边形迫近法

 1、基本思想

       将整个圆弧等分成一段段的短直线，用这些短直线形成的折线来逼近圆弧。为了获得这些短直线，只需按一定的方式计算给定圆弧轨迹上一系列顶点，短直线的绘制可采用直线的生成算法，如果将圆弧分割的足够密，则短直线将足够短，形成的折线将可以和圆弧接近到任意程度，因此在允许的误差范围内，可以用显示折线代替显示圆弧。

2、圆弧的离散生成

设圆的圆心为c(0,0),半径为R。假设圆弧的起始角和终止角分别为α₀和α₁，把圆弧分割为n份，则两个顶点之间的夹角为 α=（ α₁ - α₀ ）/n 。

设内接正多边形的一个顶点为P_i(x_i,y_i)，cP_i的幅角为θ_i，则
          x_i=Rcosθ_i
          y_i=Rsinθ_i
顶点P_i+1的坐标为
  x_i+1=Rcos(θ_i+α)= x_icosα-y_isinα
  y_i+1=Rsin(θ_i+α)= x_isinα+y_icosα

或表示为矩阵形式：

 

 计算一个点（x_i+1,y_i+1）只要作四次乘法。

 

 由此决定了一系列顶点，两个定点确定一条直线，n条直线逼近了个整个圆。