算法设计与分析——多边形游戏（动态规划）
一、问题描述
多边形游戏是一个单人玩的游戏，开始时有一个由n个顶点构成的多边形。每个顶点被赋予一个整数值，每条边被赋予一个运算符“+”或“*”。所有边依次用整数从1到n编号。
游戏第1步，将一条边删除。
随后n-1步按以下方式操作：
(1)选择一条边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2；
(2)用一个新的顶点取代边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2。将由顶点V1和V2的整数值通过边E上的运算得到的结果赋予新顶点。
最后，所有边都被删除，游戏结束。游戏的得分就是所剩顶点上的整数值。
问题:对于给定的多边形，计算最高得分。
如下图：
其实该问题与之前讨论过的凸多边形最优三角剖分问题是类似的，但二者的最优子结构性质却不同。多边形游戏问题的最优子结构性质更具有一般性。
二、算法思路
1、最优子结构性质
设所给的多边形的顶点和边的顺时针序列为op[1],v[1],op[2],v[2],op[3],…,op[n],v[n] 其中，op[i]表示第i条边所对应的运算符，v[i]表示第i个顶点上的数值，i=1~n。
在所给的多边形中，从顶点i（1<=i<=n）开始，长度为j（链中有j个顶点）的顺时针链p(i,j）可表示为v[i],op[i+1],…,v[i+j-1]，如果这条链的最后一次合并运算在op[i+s]处发生（1<=s<=j-1），则可在op[i+s]处将链分割为两个子链p(i,s)和p(i+s,j-s)。
设m[i,j,0]是链p(i,j)合并的最小值，而m[i,j,1]是最大值。若最优合并在op[i+s]处将p(i,j)分为两个长度小于j的子链的最大值和最小值均已计算出。即：
a=m[i,s,0] b=m[i,s,1] c=m[i+s,j-s,0] d=m[i+s,j-s,1]
(1) 当op[i+s]=’+’时
m[i,j,0]=a+c ；m[i,j,1]=b+d
该链的最优性由子链的最优性决定，最大值对应于子链的最大值，最小值对应于子链的最小值。
(2) 当op[i+s]=’*’时
m[i,j,0]=min{ac,ad,bc,bd} ； m[i,j,1]=max{ac,ad,bc,bd}
由于v[i]可能取负数，子链的最大值相乘未必能得到主链的最大值，但是注意到，主链的最大值和最小值可以由子链的最大最小值得到。
由于最优断开位置s有1<=s<=j-1的j-1中情况。 初始边界值为 m[i,1,0]=v[i] 1<=i<=n m[i,1,1]=v[i] 1<=i<=n
2、递归求解
可以得到递归表达式，将p(i,j)在op[i+s]处断开的最大值记为maxf(i,j,s)，最小值记为minf(i,j,s)则：
因为多变形式封闭的，在上面的计算中，当i+s>n时，顶点i+s实际编号为(i+s)mod n。按上述递推式计算出的m[i,n,1]记为游戏首次删除第i条边后得到的最大得分。
3、算法描述
void MinMax(int n,int i,int s,int j,int &minf,int &maxf) { int e[5]; int a=m[i][s][0],b=m[i][s][1]; int r=(i+s-1)%n+1;//多边形的实际顶点编号 int c=m[r][j-s][0],d=m[r][j-s][1]; if(op[r]=='t') { minf=a+c; maxf=b+d; } else { e[1]=a*c; e[2]=a*d; e[3]=b*c; e[4]=d*b; minf=e[1]; maxf=e[1]; for(int r=2; r<5; r++) { if(minf>e[r]) minf=e[r]; if(maxf<e[r]) maxf=e[r]; } } } int PloyMax(int n,int& p) { int minf,maxf; for(int j=2; j<=n; j++) //迭代链的长度 { for(int i=1; i<=n; i++) //迭代首次删掉第i条边 { for(int s=1 ; s<j; s++) //迭代断开位置 { MinMax(n,i,s,j,minf,maxf); if(m[i][j][0]>minf) m[i][j][0]=minf; if(m[i][j][1]<maxf) m[i][j][1]=maxf; } } } int temp=m[1][n][1]; p=1; for(int i=2 ; i<=n; i++) { if(temp<m[i][n][1]) { temp=m[i][n][1]; p=i; } } return temp; }
4、计算复杂性分析
与凸多边形最优三角剖分问题类似，上述算法需要O（n3）计算时间。
5、例题
#include<iostream> #include<algorithm> #define MAX 200 #define INF 0x7fffffff using namespace std; int m[MAX+1][MAX+1][2]; int v[MAX+1]; int out[MAX+1]; char op[MAX+1]; int ans=-INF; int minf,maxf; int n; void MinMax(int i,int s,int j) { int e[5]; int a=m[i][s][0]; int b=m[i][s][1]; int r=(i+s-1)%n+1;//多边形的实际顶点编号 int c=m[r][j-s][0]; int d=m[r][j-s][1]; if(op[r]=='t') { minf=a+c; maxf=b+d; } else { e[1]=a*c; e[2]=a*d; e[3]=b*c; e[4]=d*b; minf=e[1]; maxf=e[1]; for(int k=2; k<5; k++) { maxf=max(maxf,e[k]); minf=min(minf,e[k]); } } } int main() { scanf("%d",&n); getchar(); for(int i=1; i<=n; i++) { scanf("%c %d",&op[i],&v[i]); m[i][1][1]=v[i]; m[i][1][0]=v[i]; getchar(); } for(int j=2; j<=n; j++)//迭代链的长度 { for(int i=1; i<=n; i++) //迭代首次删掉的边 { for(int s=1; s<j; s++) //迭代断开位置 { MinMax(i,s,j); if(s==1) { m[i][j][0]=minf; m[i][j][1]=maxf; } else { m[i][j][1]=max(maxf,m[i][j][1]); m[i][j][0]=min(minf,m[i][j][0]); } } } } int i; int cnt=0; for(i=1; i<=n; i++) { if(m[i][n][1]>ans) { ans=m[i][n][1]; } } for(i=1; i<=n; i++) { if(m[i][n][1]==ans) { cnt++; out[cnt]=i; } } printf("%d\n",ans); for(i=1; i<cnt; i++) { printf("%d ",out[i]); } printf("%d\n",out[i]); return 0; }
再附上几组数据，方便调试：
5 x 2 x 3 t 1 t 7 x 4 224 4 5 x -3 t -1 t -7 t -4 x -2 30 1 5 3 t 0 x 1 t -2 0 1 30 x 1 t 1 x 1 t 1 t 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 t 1 t 1 x 1 t 1 x 1 x 1 t 1 x 1 x 1 t 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 t 1 x 1 x 1 x 1 288 1 3 6 7 8 9 10 11 14 16 17 19 20 22 23 24 25 26 28 29 30 48 x 1 x 2 x 1 x -1 t 1 x -1 x -1 x 1 t 1 t -1 x 1 t 2 x 1 x 2 t 1 x 1 x -1 x -2 x 1 x 1 t 1 x 1 t 1 x 1 x 1 x 1 t 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x -1 t 1 x 1 x -1 x -1 t 1 x 1 t 1 x 1 x 1 x -1 t 1 t -1 t -1 x 1 23328 45
