【数学】【筛素数】Miller-Rabin素性测试 学习笔记

 

    Miller-Rabin是一种高效的随机算法，用来检测一个数$p$是否是素数，最坏时间复杂度为$\log^3 p$，正确率约为$1-4^{-k}$，$k$是检验次数。

一、来源

    Miller-Rabin是由Miller和Rabin两个人根据费马小定理的逆定理，也就是费马测试优化过来的。费马小定理就是$$a^{p-1}\equiv 1(\mod p)$$

    我们知道当$p$为素数时费马小定理才成立，但是如果一个数满足费马小定理，它一定是素数吗？可以发现，当这个数肥肠小时，它是满足的，但是有一天人们发现341这个数满足以2为底的费马小定理，满足$2^{340}\equiv 1(\mod 341)$，但是它是合数$(341=11\times 31)$。

    这时，Miller和Rabin就改进了这个叫费马测试的东西……

    我不会证谁来证一下

二、二次探测定理

    有一个叫二次探测定理的东西，可以有效地提升费马小定理的正确性。如果对于素数$p$，有正整数$x<p$且$x^2\equiv 1(\mod p)$；可以推得$x^2-1\equiv 0(\mod p)\Rightarrow p|x^2-1\Rightarrow p|(x-1)(x+1)$，而$x<p$，所以如果$p|(x-1)$的话，$x-1=0,x=1$，或$p|x+1$，则$x=p-1$。因此，就有了Miller-Rabin测试。

三、Miller-Rabin素性测试

    有了二次探测定理，我们试着进行341的以2为底的费马测试。$2^{340}\equiv 1(\mod 341)$，如果341是素数，那么也满足二次探测定理，也就是$2^{170}\equiv 1(\mod 341)$。而170还是个偶数，可以继续进行二次探测定理。这时它就凉了，因为$2^{85}\equiv 32(\mod 341)$，而它没有通过二次探测定理，所以341不是个素数。

    同时，因为费马小定理没有要求底为什么，所以只以2为底肯定会放过一些漏网之鱼，我们应该多选一些数为底，这样才能使判断的正确性提高。不过这个底最好选择素数（不知道为什么，可能与答案的模数大都为质数一样吧...），来保证正确性。同时，在学习这个算法时，网上会有一写神奇的结论，比如选3个特定的底$2,7,61$，就可以通过小于$4,759,123,141$的所有素数的测试，而选$latex 2,3$为底，可以通过$1,373,653$以内的测试。因此很多人都喜欢随机几个数作为底，而题目给出的质数也不一样，这就是靠碰运气了。不过上面分析过，它的错误率只有约$4^{-k}$，所以出题人在不知道你的底数的情况下，正确率是特别高的。

四、总结

    Miller-Rabin是肥肠高效的，写起来也比较方便。而题目中远没有变态到让你线筛出$10^7$个数来，有很多包括空间在内的资源都浪费了，尤其是在卡空间的题中。这时候Milller-Rabin就是一个不错的选择。

五、Code(luogu 线性筛模板)

    因为这里的范围是$10^7$，所以用上面的特定底数$2,7,61$是可以通过的

#include<cstdio>
#include<cstring>
long long qpow(long long x,long long y,long long p)//快速幂及模数
{
    long long ans=1,m=x;
    while(y)
    {
        if(y&1)
            ans*=m;
        ans%=p;
        m*=m;
        m%=p;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
bool check(long long x,long long y,long long p)//二次探测
{
    long long tmp=qpow(x,y,p);
    if(tmp!=1&&tmp!=p-1)
        return false;
    if(tmp==p-1)
        return true;
    if(tmp==1&&(y&1))
        return true;
    return check(x,y>>1,p);
}
bool millerrabin(long long x)
{
    if(x<=1)
        return false;
    if(x==2||x==7||x==61||(check(2,x-1,x)&&check(7,x-1,x)&&check(61,x-1,x)))//注意判断到自己会挂掉，我们已经知道他们是素数了就不管了qwq
        return true;
    return false;
}
int main()
{
    int n,m;
    long long u;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%lld",&u);
        if(millerrabin(u))
            puts("Yes");
        else
            puts("No");
    }
    return 0;
}