影醉阏轩窗

衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴。
扩大
缩小

概率密度函数、概率分布函数、概率质量函数

1.概率密度函数

  1.1. 定义

    如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使得对于任意实数有

 

 

 


    则称X为连续型随机变量,其中F(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度。(f(x)>=0,若f(x)在点x处连续则F(x)求导可得)f(x)并没有很特殊的意义,但是通过其值得相对大小得知,若f(x)越大,对于同样长度的区间,X落在这个区间的概率越大。
 
  1.2.意义及通俗解释
 
     A.形象解释:
 

    这么说吧,一个物体,问你它在某一个点处的质量是多少 ? 因为一个点是无限小的,所以点的质量一定为0。然而这个物体是由无数个点组成的,假如我们又需要求它质量,怎么办呢 ?于是引入密度的概念 \rho=\lim_{V \rightarrow 0}{\frac{△m}{△V}} ,最后再把密度积分就可以得到质量m了。

    同理,如果在[0,1]上随机取点,求取在某一点处的概率,点的长度无限小,此概率一定为0。这时情况和上面所述类似,我们需要引入概率密度p,其中p= \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{△p}{△x}}。这样我们就可以求所取点落在某一段(a,b)上的概率了。概率p=\int_{a}^{b}p(t)dt

 

    总结:为什么要叫概率密度,因为它和物理上密度的定义本质上是一样的。我们做题的时候一般就两种。一.告诉你概率密度函数,让你求分布函数,积分就好了。二.告诉你分布函数,让你求概率密度函数,求导就好了。

就像你做初中物理的密度题,无非两种:一.告诉你物体的密度让你求质量。二.告诉你物体的质量让你求密度。

 

     B.实例说明
 
    概率密度函数可以看成是直方图的平滑近似。

 

  1.3.概率密度函数和概率的关系
 
    这里有一点绕人,只有连续型函数才有概率密度!
    某一点的值是没有概率的P(X=1) = 0; 
    某一段的概率:设F(x)是概率分布函数,如果f(x)在[-无穷,x]的积分就是F(x),f(x)>=0,则乘f(x)为x的概率密度函数。
    概率分布求导数就是概率分布函数!
 
  1.4.函数间的概率密度关系
 
    注释:这里完全是我个人理解,没找到相关资料,只是看到有人这么用,有可能是错误的,欢迎指正!

 

2.概率分布函数  
  
  P=P(t<=X)
 
3.概率分布函数
 
   离散函数的概率值:P=P(K=X)
 
4.相互关系以及求解实例
 
  4.1给定概率密度
    

  4.2给定分布函数

 

  4.3给定正常函数

    注释:这里是我自己想的,没有看到别的地方写,如有错误欢迎指正!

 


参考:http://www.cnblogs.com/jstong/p/5903641.html
   https://www.zhihu.com/question/23237834
       https://www.cnblogs.com/dengdan890730/p/6169159.html
 

posted on 2017-11-01 17:58 寂寞的小乞丐 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

导航

/* 线条鼠标集合 */ /* 鼠标点击求赞文字特效 */ //带头像评论