Icpc Ec-Final2024 补题记录

不写游记，因为当战犯了博客才开。
进度：AEFGHIKL
A. Hitoshizuku
[数据删除]
讲一下做法，按\(b\)排序后，相当于固定了\(\min{b_i}\)。
于是只要满足\(\max{a_j}\le b_i\)就好了，显然选择\(b\)最小的那几个最优。
于是就有了[数据删除]……
因为查询是单调的，所以动态加到堆里就好了。
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E. Corrupted Scoreboard Log
没调出大模拟……
爆搜复杂度就是对的，但是写的时候脑子要清醒。连我现在写的时候虽然一遍过了样例，但是用拍子才拍出错……
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F. Boolean Function Reconstruction
/bx 最小发达
首先给出一种构造方案，将所有\(f(x_1,x_2\dots x_n)=1\)中值为\(1\)的变量and起来，再或起来，形如\(\texttt{(a&b)|(a&c)|(b&c)|(a&b&c)}\)
这种方案不成立当且仅当\(S \subset T,f(S)>f(T)\)，但因为and和or满足单调性，所以这种情况出现时便无解。
观察样例，可以发现可以将\(\texttt{(a&b)|(a&c)|(b&c)}\)优化成\(\texttt{(a&(b|c))|(b&c)}\)，正确性显然。
所以说我们可以对于一个字符\(c\)，可以将构造优化成如上形式，形如\(((c\&f_1)|f_2)\)，再对于\(f_1,f_2\)递归构造。
但这种构造近似于\(2^n\)，还不够，观察到若\(f(S)=f(T)=1,S\subsetneq T\)，则\(T\)没有必要被构造。
这样就完了，当然我不会算上界
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G. Collatz Conjecture
花了半天时间，不知道赛时写的是什么，反正过了。
比赛建议使用皮卡打表法。
说一下官解。
视一轮操作为反复加\(B\)直到为\(A\)的倍数，那么因为\(A,B\)互质，显然操作在模\(B\)意义下具有包含\(n\)的循环。
令操作后\(n \leftarrow n'\)
则显然\(n'\le (n+(A-1)B)/A\)
当\(n\le B\)时，\(n'\le B\)；当\(n>B\)，\(n'<n\)。
所以最终\(n\)肯定在这个操作下在\([1,B]\)循环。
记\(p\equiv n \pmod B,p\in[1,B]\)，那么题目中的循环包含\(n\)当且仅当最小非负整数\(t\)使得\(A|p+tB\)时，\(n\le p+tB\)
用exgcd做就完了。
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H. Staircase Museum
怎么不猜结论？怎么不猜结论？
如果一个状态合法，首先点满足二维偏序关系，其次可以通过调整满足它们都被移动到了拐点。
证明我认为还是感性理解更好。
然后对拐点求一个最长上升子序列就好了。
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I. Color-Balanced Tree
天涯做的，赛后看应该也很简单，猜一个结论：黑白相邻染色，到叶节点调整。
很好证。
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K. Exploration Boundary
先考虑怎么判合法。
对于仅有一个点集吗，可以发现边界形成时，点被划分成三部分，一类是已经确认最短距离的点，一类是边界，一类是还未被访问过的点。所以可以将边界视为障碍然后BFS判断。

多个边界判定时，我们可以发现他们的第一类点满足包含关系，但暴力判复杂度显然不对。所以可以一次性加入所有点集中的点，然后开始BFS，这样的话每次队列空后形成一条障碍时，这条障碍一定会在给定的点集中出现过，然后用类似拓扑排序删掉度数的方式做就完了。

对于构造边权，因为dijkstra根据\(dis\)递增依次访问点，所以我们令\(\Phi(i)\)为点\(i\)的势能函数，将它赋值为点\(i\)的BFS出队时间。若一条边两端点为\(u,v\)，则边权赋值为\(|\Phi(u)-\Phi(v)|\)，这样可以保证每个点的最短距离不同。
剩下需要实现的只有一个集合判等，可以用hash。（但是某个唐诗用int范围内的异或hash，2e5个集合不冲突概率高达0.0000453870676281613）
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L. Shiori
北约应该能秒的喵。
以下认为\(n,q\)同阶。
先说一下不带区间推平怎么做。
对于一个修改区间，我们以此找到该区间的最小值，并把线段树区间内等于最小值的叶节点赋为INF。重复以上过程，直到找到mex，再还原叶节点并打上加法tag。
为什么是对的？考虑一个叶节点被遍历当且仅当它的值小于mex，于是在一次操作后值至少翻倍。
一次翻倍代价为\(O(\log n)\)，复杂度\(O(n\log^2 n)\)
那带上assign呢？考虑每次至多增加一个连续段，其实只要打一个区间赋值tag，在整个区间已被推平时不继续遍历就好了，复杂度还是有保证的。
虽说连续段在线段树上会被拆成\(O(\log n)\)个区间，但其实总遍历区间数还是\(O(\log n)\)的。
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