后缀数组讲解

后缀数组零基础讲解（倍增法）

最近几天好好复习了下SA，希望看完这篇博客能让你彻底明白SA（求height什么的有待填坑）

（偷偷告诉你们：其实学SA有个很简单的方法，那就是背下来！）

　　  1.后缀数组的应用和优势（可以先看如何实现再看）：

　　　应用：后缀数组可以得到后缀的排名，如果将后缀排序后，则后缀是按照字典序排列的，那么就可以很好地求出任意两个后缀的最长公共前缀了。

　　　假设排序后的后缀中第i个后缀为s'[i]，如果s'[i]和s'[i-1]的最长公共前缀长度为A,s'[i-1]和s'[i-2]最长公共前缀长度为B，则s'[i]和s'[i-2]最长公共前缀长度为min(A,B)

　　　下面用反证法证明：

　　　如果s'[i]和s'[i-2]的最长公共前缀长度大于min(A,B)

　　　则因为按照字典序排序，则可以知道s'[i-1]必定也含有该公共前缀，长度>min(A,B),与假设不符

　　　证毕

　　　据此可以得出任意两个后缀的最长公共前缀，设height[i]为排名为i的后缀与排名为i-1的后缀的最长公共前缀，则排名为L的后缀与排名为R的后缀的最长公共前缀长度为min(height[i])(i=L+1,L+2...,R)预处理+RMQ可以解决（如果真的零基础可以先放着看下面）

　　　后缀数组不仅能求一个子串的后缀排序，还能搞多个子串，只要每个子串后加个不会出现在子串的字符即可，这样就可以实现很多功能了。

　　　优势：后缀数组和SAM比有什么优势呢？SAM可以实现的东西很多，但SA不行，那SA还有什么学的必要吗？

　　　这不废话吗，那你为什么再看我这个讲SA的博客(doge)

　　　SA一般作为学SAM的过渡，SA学好了也能解决大部分问题，学的特别好甚至能乱搞一切SAM题（如果不是请告诉我qwq）

　　　SA占用空间比SAM小很多，而且代码难度上来说也要小一些，理解难度也要小很多。

　　  2.后缀数组的原理，实现

　　　倍增法

　　　假设我们已经得到了每个后缀按照前2^x个字符排序的排名，则可以得出每个后缀按照前2^x+1个字符排序的排名（第x次可以得出按前2^x-1个字符比较的排名，因为第一次是比较1个），

　　　令s'[i]表示开头位置为i的后缀，rk[i]表示s'[i]的排名（每次排序后更新，第i次排序时用第i-1次的rk，第i次排序后更新rk）

　　　则如果我得到了第x次的rk，现在要比较s'[i]和s'[j]长度为2^x+1的前缀的大小，那么我可以先比较rk[i]和rk[j]，如果rk[i]和rk[j]不同可以直接得出大小关系，如果相同则继续比较rk[i+(1<<（x-1））]和rk[j+（1<<（x-1））]即将一个长度为2^x+1的比较分为两次长度为2^x的比较。

　　　这样便能实现快速比较了，但是要如何排序呢？

　　　这里就需要用到桶排序了

　　　桶排序简单来说就是桶是按照顺序排列的，我要比较若干个数的话，就将这些数丢进对应编号的桶里面，然后按顺序从桶里取出来，那么这些数就是按照顺序排好的了。

　　　举个栗子：3、1、4、5、3要排序，我可以设个数组a[N](N视数字最大值定，也可以用离散化减小N取值）,然后a[3]++,a[1]++,a[4]++,a[5]++,a[3]++

　　　再从1到N一次将桶里的数取出，如果桶里没有数不取，如果有多个取出多个。

　　　当然桶排序也可以有多个关键字，就是会略微麻烦些，例如我们需要比较两次，并且优先第一次。

　　　接下来是重头戏，请务必看清楚各个数组表示的意思！（注：所有数组指的都是当前的，即第x次比较则都为所有后缀长度为2^x-1的前缀，需要每次排序后更新）

　　　sa[i]表示排名为i的位置

　　　rk[i]表示开头位置为i的后缀的排名

　　　tp[i]表示第二关键字排名为i的位置

　　　tax为桶数组，用于桶排序

　　　下面上代码（请自行将代码拷贝仔细看清每一步！）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int rk[N], tp[N];
int sa[N], tax[N], m;
char s[N];
int n;
inline void qsort() {//桶排序 
    memset(tax + 1, 0, m << 2);//初始化 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) ++tax[rk[i]];//根据第一关键字丢到桶里 
    for (int i = 1; i <= m; ++i) tax[i] += tax[i - 1];//求前缀和,因为还需要用第二关键字
    //tax[i]即为所有rk<=i的数目,tax[i-1]即为所有rk<=i-1的数
    //因此求出的sa数组中第tax[i-1]+1个到第tax[i]个即为rk=i的 
    for (int i = n; i; --i) sa[tax[rk[tp[i]]]--] = tp[i];
    //这个需要好好理解，首先rk如果相同则所在的桶是相同的，那么我们直接根据第二关键字顺序将其取出即可
    //tp[i]为第二关键字排名为i的位置
    //假设tax[i-1]=A,tax[i]=B,则说明第i个桶有B-A个，说明有B-A个第一关键字即rk=i的，
    //此时我们如果先取出第二关键字最靠后的位置，那么sa[B]就是这个位置
    //之后取出第二关键字次大的，那么sa[B-1]就是这个位置，依次类推 
}
inline void suffix_sort() {
    m = 200;//m为辅助用,用于记录当前的rk最大为多少,因为当两个后缀长度为2^i的前缀相同时rk算作相同
    //是一个优化 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) rk[i] = s[i], tp[i] = i;//初始第一关键字即为Ascall码大小,也可以自定义大小
    //例如s只包含小写字母,rk[i]=s[i]-'a'+1即可,此时m可取26
    //tp为第二关键字，当不存在时根据位置确定第二关键字 
    qsort();
    for (int i = 1, p; p < n; m = p, i <<= 1) {//i即为上一次比较长度,i*2为这一次比较长度 
        p = 0;
        for (int j = 1; j <= i; ++j) tp[++p] = n - i + j;//因为上一次比较长度为i
        //后面开头位置为n-i+1,n-i+1...n的第二关键字都不存在，此时将位置作为第二关键字
        //又因为不存在要优先考虑，因此放在存在第二关键字的前面 
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            if (sa[j] > i)
                tp[++p] = sa[j] - i;//上一次的sa可以求出这一次的第二关键字
        //因为这里sa[j]表示上一次排名为j的位置
        //而tp第二关键字实际上就是上一次排名为j的位置-i，因为第一关键字和第二关键字就是开头位置相隔i而已 
        qsort(), swap(rk, tp);//桶排序后，交换下rk,tp，因为接下来还需要用到上一次的rk以及求出这一次的rk 
        rk[sa[1]] = p = 1;
        for (int j = 2; j <= n; ++j)
            rk[sa[j]] = (tp[sa[j]] == tp[sa[j - 1]] && tp[sa[j] + i] == tp[sa[j - 1] + i]) ? p : ++p;
        //此时的tp因为和上一次的rk交换，所以表示的是上一次的rk 
        //如果上一次的时候第一关键字和第二关键字j和j-1相同，则这一次第一关键字j与j-1相同 
    }
}
int main() {
    scanf("%s", s + 1);
    n = strlen(s + 1);
    suffix_sort();
    for (int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d ", sa[i]); 
    return 0;
}

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