洛谷P5362 [SDOI2019]连续子序列 题解

题目链接：洛谷

题目大意：询问 Thue-Morse 序列中以 \(S\) 为前缀的长度为 \(k+|S|\) 的字符串个数对 \(10^9+7\) 取模。

你可能需要知道的知识： Thue-Morse 序列的构造方法，一开始序列中只有一个 0，随后对该串进行无限次操作，每次操作将原序列取反后接在原序列之后，所以 Thue-Morse 是一个无穷序列。

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题解：这题如果你直接跟着给定的构造方案做的话……请做出来的受我一拜。

考虑换一种构造方案，即对于原序列，每一次在原来的 0 后面增加 1 ，在 1 后面增加 0 ，通过感性理解、举例、归纳可以证明这和原来的构造方案是一样的。

所以说，我们可以对串 \(S\) 进行一些处理，来减小我们的问题的规模。

我们有两种缩小问题规模的方法，一种是将 \(S_{1,2},S_{3,4},\dots\) 缩起来（缩起来的意思是将 01 变为 0 将 10 变为 1，显然如果有连续的 00 或 11 那么就不合法），另一种是将 \(S_{2,3},S_{4,5},\dots\) 缩起来并将 \(S_1\)取反。

所以每一次的操作可以将 \(|S|\) 缩小一半，这样的话直接记忆化搜索就可以做到 \(O(|S|\log k)\) 的时间复杂度。

代码：

#include <map>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int Mod=1000000009;
map<pair<string,ll>,int> f;
int work(string s,ll k){
	if(s.size()==1){
		if(k==0||k==1||k==2){
			return k+1;
		}
	}
	if(s.size()==2){
		if(k==0){
			return 1;
		}
		if(k==1){
			return s[0]==s[1]?1:2;
		}
	}
	if(s.size()==3){
		if(k==0){
			return s[0]!=s[1]||s[1]!=s[2];
		}
	}
	pair<string,ll> u=make_pair(s,k);
	if(f.count(u)>0){
		return f[u];
	}
	int ans=0;
	bool flag=1;
	string v="";
	for(int i=0;i<(int)s.size();i+=2){
		if(i<(int)s.size()-1&&s[i]==s[i+1]){
			flag=0;
			break;
		}
		v+=s[i];
	}
	if(flag){
		ans=(ans+work(v,(s.size()&1)?(k>>1):((k+1)>>1)))%Mod;
	}
	flag=1;
	v=s[0]^1;
	for(int i=1;i<(int)s.size();i+=2){
		if(i<(int)s.size()-1&&s[i]==s[i+1]){
			flag=0;
			break;
		}
		v+=s[i];
	}
	if(flag){
		ans=(ans+work(v,(s.size()&1)?((k+1)>>1):(k>>1)))%Mod;
	}
	return f[u]=ans;
}
int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		string s;
		ll k;
		cin>>s;
		scanf("%lld",&k);
		printf("%d\n",work(s,k));
	}
	return 0;
}