Cayley定理

Cayley 定理：给定\(n\)个点（互不相同），它们所构成的无根树的个数为\(n^{n-2}\)。
证明：可以考虑prufer数列，每一棵无根树唯一对应一个有\(n-2\)个元素的prufer数列，并且，每一个prufer数列都唯一对应一棵无根树，所以，共有\(n^{n-2}\)种。
Update on 2021.5.6：我是屑/kk，Cayley 定理是假设该图中有 \(m\) 个联通块，联通块内的点的个数分别为 \(a_1,a_2,\dots,a_m\) 并且 \(a_1+a_2+\dots+a_m=n\)，那么通过加 \(m-1\) 条边使得所有联通块联通的方案数是 \(n^{m-2} \prod_{i=1}^m a_i\)，证明依然是考虑 Prufer 序列。
广义 Cayley 定理：（参照jklover的博客)
\(n\)个标号节点形成一个有\(k\)颗树的森林,使得给定的\(k\)个点没有两个点属于同一颗树的方案数为\(k \cdot n^{n-k-1}\)。
证明：咕咕咕，我也不会，就当成结论记吧