建模学习第二天——优劣解距离法
TOPSIS法 (优劣解距离法)
来源：清风老师数学建模ppt，全手打
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TOPSIS法：
- 又名为：逼近理想排序法或优劣解距离法。
- 是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。
- 基本过程为：先将原始数据矩阵统一指标类型(一般正向化处理)得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。
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常见的四种指标：
指标名称 指标特点 例子 极大型(效益型)指标 越大(多)越好 成绩、GDP增速、利润 极小型(成本型)指标 越小(少)越好 费用、坏品率、污染程度 中间型指标 越接近某个值越好 水质量评估时的PH值 区间型指标 落在某个区间最好 体温、水中植物性营养物量
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统一指标类型：
- 将所有的指标转化为极大型成为指标正向化(最常用的)。
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标准化处理：
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为了消去不同指标量纲的影响，需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理。
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标准化处理的公式：假设有n个要评价的对象，m个评价指标(已经正向化了)构成的正向化矩阵如下：
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\[X=\left[\begin{matrix}x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1m}\\x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nm}\end{matrix}\right] \]
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那么，对其标准化的矩阵记为Z，Z中的每一个元素：
\[z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n x^2_{ij}}} \]
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构建计算公式：
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\[\frac{x-min}{max-min}=\frac{x-min}{(max-x)+(x-min)}=\frac{x与最小值的距离}{x与最大值的距离+x与最小值的距离} \]
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\[Z=\left[\begin{matrix}z_{11}&z_{12}&\cdots&z_{1m}\\z_{21}&z_{22}&\cdots&z_{2m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\z_{n1}&z_{n2}&\cdots&z_{nm}\end{matrix}\right] \]
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定义最大值Z+=(\(Z^+_1,Z^+_2,\cdots,Z^+_m\)) = (max{\(z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\)}，max{\(z_{12},z_{22},\cdots,z_{n2}\)},\(\cdots\),max{\(z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\)})
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定义最小值定义最大值Z—=(\(Z^-_1,Z^-_2,\cdots,Z^-_m\)) = (min{\(z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\)}，min{\(z_{12},z_{22},\cdots,z_{n2}\)},\(\cdots\),min{\(z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\)})
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定义第i(i=1,2,3,\(\cdots\),n)个评价对象与最大值的距离：
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\[D^+_i=\sqrt{\sum_{j=1}^m (Z^+_j-z_{ij})^2} \]
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定义第i(i=1,2,3,\(\cdots\),n)个评价对象与最小值的距离：
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\[D^-_i=\sqrt{\sum_{j=1}^m (Z^-_j-z_{ij})^2} \]
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那么，我们可以计算得出第i(i=1,2,\(\cdots\),n)个评价对象未归一化的得分：Si=\(\frac{D^-_i}{D^+_i+D^-_i}\)很明显。0\(\leq\)Si$\leq$1,且Si越大 \(D^+_i\) 越小，即越接近最大值。
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解题思路：
第一步：将原始矩阵正向化，将所有的指标类型统一转化为极大型指标。
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极小型指标转化为极大型指标：max-x，或者是\(\frac{1}{x}\)
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中间型指标转化为极大型指标：
- 中间型指标：指标值既不要太大也不要太小，取某特定值最好。
- {xi}是一组中间型指标序列，且最佳的数值为xbest，那么正向化公式如下：M=max{|xi—xbest|}，\(\tilde{x}\)=1— \(\frac{|x~i~— x~best~|}{M}\) 。
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区间型指标转化为极大型指标：
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\[f(x)=\left\{ \begin{aligned} 1-\frac{a-x_i}{M} &,x_i<a\\ 1&,a\leq x_i\leq b\\ 1-\frac{x_i-b}{M}&,x_i>b \end{aligned} \right. \]
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第二步：
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正向化矩阵标准化。
X = [89,1; 60,3; 74,2; 99,0] [n , m] = size(X) X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1)
第三步：
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构建计算公式计算得分并归一化
= [89,1;60,3;74,2;99,0] [n , m] = size(X); Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5,n,1); D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5 %D+向量 D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5 %D-向量- 得分归一化：\(\tilde{S_i}=\frac{S_i}{\sum_{i=1}^n S_i}\)，这样的话，\(\sum_{i=i}^n \tilde{S_i}=1\) 。
- 得分归一化不影响排序。
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当加上权重的时候，需要\(D^+_i=\sqrt{\sum_{j=1}^m w_i(Z^+_j-z_{ij})^2}\)，其他的类似。wi在这里是权重。
