线性代数学习笔记——第五章(下)

线性代数学习笔记——第五章(下)

还剩短暂的一章，本打算今天将线性代数结束，然而玩了一下午的游戏，又看了三个小时的LPL。哎，太难了！ 这篇笔记的部分思路来自于CSDN的小刀博主。

相似矩阵和矩阵可对角化的条件

• tr(A):迹，主对角线元素之和。

• 相似矩阵：

  • 若A、B为n阶方阵，存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP = B，则A与B相似，A~B。
  • 反身性：A~A
  • 对称性：A~B \(\Longleftrightarrow\) B~A
  • 传递性：A~B B~C \(\Longrightarrow\) A~C

• 相似矩阵的性质：

  • 如果A~B，则A、B有：
    • 相同的特征值。
    • |A| = |B|
    • tr(A) = tr(B)
    • 均可逆或者均不可逆
    • 均可逆的情况下：A^-1 ~ B^-1
    • A^m ~B^m
    • r(A) = r(B)

• 定理：A相似于对角型矩阵 \(\Longleftrightarrow\) A有n个线性无关的特征向量。

  • 若P为特征向量的列组合(α1, α2, α3)，则P^-1AP = Λ = diag(λ1, λ2, λ3)

  • 若A有n个互异的特征根，则A~ \(\bigwedge\) 。

• 定理：A~ \(\bigwedge\) \(\Longleftrightarrow\) 对每个r_i 重特征根，基础解系有r_i个解。

  
  
  
  

  实对称矩阵的对角化

• 所有实对称矩阵都能对角化。

• 内积：

  • 内积：两个向量相乘再相加得到的数。
  • α和α的内积(α，α) \(\geq\) 0
  • (α，α) = 0 \(\Longleftrightarrow\) α = 0
  • (α，β) = (β，α)
  • (kα，β) = k(α，β) = (α，kβ)
  • (α+β，γ) = (α，γ)+(β，γ)

• 向量的长度(范数、模):

  • 范数：||α|| = \(\sqrt{(α，α)}\)
  • 单位向量：模为一。
  • 单位化(标准化)：\(\frac{α}{||α||}\)

• 模的性质：

  • ||α|| \(\geq\) 0，||α|| = 0 \(\Longleftrightarrow\) α = 0
  • ||kα|| = |k|*||α||

• 柯西-施瓦茨不等式：|(α，β)| \(\leq\) ||α||*||β||

• 三角不等式：||α + β|| \(\leq\) ||α||+||β||

• 正交垂直：

  • (α，β) = 0，α \(\perp\) β。
  • (0，α) = 0。
  • 正交向量组：组中向量两两正交，且线性无关，不含零向量。
  • 标准正交向量组：是正交向量组，且组内都是单位向量。

• 施密特正交化

• 正交矩阵：

  • 定义：A是n阶方阵，AA^T = E
  • 若A正交矩阵，则|A| = \(\pm\) 1
  • 若A是正交矩阵，则A^-1 = A^T ,且A^-1和A^T 都正交。
  • 若A和B都是正交矩阵，那么AB也正交。
  • 若α、β是n维列向量，那么(Aα，Aβ) = (α，β)。
  • A正交 \(\Longleftrightarrow\) A的行(列)向量组是标准正交向量组。

• 若A、B是同阶方阵，存在正交矩阵P，是的P^-1AP = B，这A和B正交相似。

• 若A实对称，一定存在正交矩阵P，使P^-1AP = \(\Lambda\) = diag(λ1, λ2, ……λn)

  • n阶实对称矩阵A一定有n个线性无关的特征向量。

• 实对称A的不同特征值的特征向量正交。

• 实对称矩阵的解题步骤：

  • 求特征值
  • 求特征向量
  • 特征向量正交化、单位化
  • 特征向量做成列构成P
  • 特征值与特征向量顺序对应。