浅谈公平赌博模型

公平赌博游戏

有一个大小为 $W$ 的字符集，有一个空的字符串 $A$，每次向字符串末尾随机添加一个字符。现在有一个长度为$l$的随机字符串$B$，当 $A$ 的后缀与 $B$ 相同时停止加字符，设 $A$ 的长度为T，求 $\mathbb{E}[T]$。

有一个我也不知道怎么想到的转化。将原问题转为有一个赌场，每次添加新的字符之前就会有一位赌徒带着 $1$ 元来到赌场，他会按照字符串 $B$ 下注下一个字符为 $B_1$，如果他赌输了就失去所有资金滚蛋，否则他的资金将会变为原来的 $W$ 倍，并且在下一个字符加入时候会继续用所有资金下注下一个字符为 $B_2$，并遵循同样规则获得 $W$ 倍钱或滚蛋，以此类推。如果他一直猜对了 $l$ 次，那么整个赌场将会停止，即字符串不再加入新字符。

我们发现赌场停止时候字符串的长度就是原问题字符串长度，所以我们要求此时的期望。读者可能会有疑问，赌徒的资金有什么用呢？

此处有个非常巧妙的转化，我们发现，因为每次有 $W$ 个可能的字符，每个赌徒有 $\frac{1}{W}$ 的概率得到 $W$ 倍的钱，$\frac{W-1}{W}$ 的概率失去所有钱，则一次操作的期望为 $W*\frac{1}{W} + 0 \times \frac{W-1}{W}$ 的钱，即原来的 $1$ 倍。原来这钱的期望永远都为为初始值 $1$ 啊，那么我们发现每个赌徒会带 $1$ 元来到赌场，那么赌场关门时候赌场内赌徒的总资金的期望不就相当于字符串的长度吗。

现在考虑哪些赌徒会对答案有贡献。假设赌场在第 $T$ 次关门，那么显然第 $T-l+1$ 个赌徒就是迫使赌场关门的罪魁祸首，其最终有 $W^l$ 元。考虑在 $T-l+1$ 之前上场的赌徒，那么显然这些赌徒必定在 $T$ 之前猜错滚蛋了，否则每次赌场肯定会在 $T$ 之前关门。

那么在 $T-l+1$ 之后入场的赌徒呢？如果他们没有滚蛋，那么他们一定是一直猜中了加入字符的一个后缀，即 $B$ 的一个后缀，而按照他们猜测的方式,他们猜测的答案是 $B$ 的一个前缀，那么说明能留下的赌徒猜测的答案既是 $B$ 的前缀与后缀，即 $B$ 的一个 $border$。

对于 $B$ 的一个长为 $k$ 的 $border$。那么 $T-k+1$ 入场的赌徒就会在 $T$ 时留下产生 $W^k$ 的贡献，如果我们把 $B$ 本身也看作 $B$ 的 $border$ 的话，$\mathcal{B}$ 为 $B$ 的所有 $border$ 组成的集合，赌徒最终的资金就是 $\sum_{C \in \mathcal{B}}W^{|C|}$。

可问题是对于随机的字符串 $B$ 该怎么处理呢？我们万万不能钦定 $B$ 的任何字符，否则会凭空添加限制或者产生惊人的分类讨论。我们就单纯看条件，长度为 $k$ 字符串 $C$ 为 $B$ 的一个 $border$ 的充要条件是 $i=1,2,...,k,B_i=B_{n-k+i}$，则刚才的求和式可转化为 $\sum_{k=1}^{l}\sum_{|C|=k,C\in pre{B}}{W^k \times \prod_{i=1}^k{[C_i=C_{n-k+i}]}}$，为了方便，我们知道一个字符串 $B$ 一定是自己的 $border$，即 $k=l$，把这个单独提出来就是 $W^{l} + \sum_{k=1}^{l-1} \sum_{|C|=k , C\in pre{B}} {W^k \times \prod_{i=1}^{k}{[C_i=C_{n-k+i}]}}$

处理随机的字符串 $B$ 就是所有可能的和求平均值，我们可以列出以下式子${\mathbb{E}[T]} = W^{l} + \frac{\sum_{w_1=1}^{W} \sum_{w_2=1}^{W} ... \sum_{w_l=1}^{W} \sum_{k=1}^{l-1} {W^{k}} \times \prod_{i=1}^{k}{[w_{i}=w_{n - k + i}]}}{W^l}$

我们断言在该式中 $[w_i=w_{n-k+i}]$ 成立的概率为 $\frac{1}{W}$，则该式子大致可以化为 $W^{l} + \sum_{k=1}^{l-1} W^{k} \times \frac{1}{W^{k}} = W^{l}+l-1$

$W^l+l-1$ 就是最终答案了。