[笔记] [离散数学及其应用] 第九章 关系

第九章 关系

9.1 关系及其性质（Relations and Their Properties）

9.1.1 Introduction

定义 1. 设 \(A,B\) 为集合，则 \(A,B\) 之间的一个二元关系（binary relation）为一个 \(A\times B\) 的子集

9.1.3 Relations on a Set

定义 2. 设 \(A\) 为集合，则 \(A\) 上的一个关系为一个 \(A\times A\) 的子集

9.1.4 Properties of Relations

定义 3. 自反性（reflexive） 称 \(A\) 上的关系 \(R\) 是自反的，当且仅当 \(\forall x\in A,(x,x)\in R\)

定义 4.1. 对称性（symmetric） 称 \(A\) 上的关系 \(R\) 是对称的，当且仅当 \(\forall a,b\in A,(a,b)\in R\Leftrightarrow (b,a)\in R\)

定义 4.2. 反对称性（antisymmetric） 称 \(A\) 上的关系 \(R\) 是反对称的，当且仅当 \(\forall a,b\in A,(a,b)\in R\land (b,a)\in R\Rightarrow a=b\)

定义 4.3. 非对称性（asymmetric） 称 \(A\) 上的关系 \(R\) 是非对称的，当且仅当 \(\forall a,b\in A,(a,b)\in R\Rightarrow (a,b)\not\in R\)

定义 5. 传递性（transitive） 称 \(A\) 上的关系 \(R\) 是传递的，当且仅当 \(\forall a,b,c\in A,(a,b)\in R\land (b,c)\in R\Rightarrow (a,c)\in R\)

9.1.5 Combining Relations

定义 6. 设 \(R\) 为 \(A\) 到 \(B\) 的关系，\(S\) 为 \(B\) 到 \(C\) 的关系，则定义 \(S\circ R=\{(a,c)|a\in A,c\in C, \exist b\in B,(a,b)\in R,(b,c)\in S\}\)，书写时注意 \(S\) 在前

定义 7. 设 \(R\) 为 \(A\) 上的关系，则 \(R^{n+1}=R^n\circ R\)，\(R^1=R\)（\(n\in \mathbb{N}\)）

定理 1. \(A\) 上的关系 \(R\) 是传递的当且仅当 \(\forall n\in \mathbb{N^+},R^n\subseteq R\)

9.4 关系的闭包（Closures of Relations）

9.4.2 Different Types of Closures

定义 1. 设 \(R\) 是 \(A\) 上的一个关系，\(P\) 是某种性质（如自反性，对称性，传递性）则 \(R\) 关于性质 \(P\) 的闭包（closure）为 \(R\) 的最小的满足性质 \(P\) 的超集

如 \(R\) 的自反闭包为 \(R\cup \Delta\)（\(\Delta=\{(a,a)|a\in A\}\)），\(R\) 的对称闭包为 \(R\cup R^{-1}\)（\(R^{-1}\) 为 \(R\) 的逆关系，\(R^{-1}=\{(b,a)|(a,b)\in R\}\)）

9.4.3 Paths in Directed Graphs

定义 2. 对有向图 \(G=(V,E)\)，从节点 \(a\) 至节点 \(b\) 的路径为节点序列 \(x_0,x_1,\cdots,x_n\)，其中 \(x_0=a,x_n=b,(x_{i-1},x_i)\in E\ (1\le i\le n)\)，且称这条路径的长度为 \(n\)（即路径中边的个数）

定理 1. 设 \(R\) 为 \(A\) 上的一个关系，则存在一条从 \(a\) 到 \(b\)，长度为 \(n\) 的路径，当且仅当 \((a,b)\in R^n\)

定义 3. 设 \(R\) 为 \(A\) 上的一个关系，定义 \(R^*\) 为 \(R\) 的连同关系，即 \(R^*=\{(a,b)|\text{b is reachable from a}\}\)，自然得到：

\[R^*=\bigcup_{n=1}^{+\infty}R^n \]

定理 2. \(R\) 的传递闭包就是 \(R\) 的连通关系 \(R^*\)

引理 1. 设节点个数为 \(n\)，则对节点 \(a\)，若存在 \(a\rightarrow a\) 的回路（circuit/cycle），则存在长度 \(\le n\) 的回路，对节点 \(a,b\ (a\not=b)\)，若存在 \(a\rightarrow b\) 的路径，则存在长度 \(\le n-1\) 的路径

定理 3. 由上述引理，得到：

\[\begin{aligned} M_{R^*}&=M_R\lor M_{R^2}\lor\cdots\lor M_{R^n}\\ &=M_R\lor M_R^2\lor \cdots\lor M_R^n \end{aligned} \]

于是可以通过将 \(M_R\) 的幂次叠加得到传递闭包

9.5 等价关系（Equivalence Relations）

9.5.2 Equivalence Relations

定义 1. 称 \(A\) 上的关系 \(R\) 是等价关系当且仅当 \(R\) 同时具有自反性，对称性，传递性

定义 2. 对 \(a,b\in A\)，若 \((a,b)\in R\)，则称 \(a,b\) 等价（equivalent），记为 \(a\sim b\)

9.5.3 Equivalence Classes

定义 3. 设 \(R\) 是一个 \(A\) 上的等价关系，\(a\in A\)，记 \([a]_R=\{b|(a,b)\in R\}\) 为所有与 \(a\) 等价的元素形成的集合，则称 \([a]_R\) 为 \(a\) 的等价类（equivalence class），其中任意的 \(b\in [a]_R\) 均可被视作这个等价类的代表元素（representative）

9.5.4 Equivalence Classes and Partitions

定理 1. 设 \(R\) 是一个 \(A\) 上的等价关系，\(a,b\in A\)，则以下三个表述是等价的

• \(aRb((a,b)\in R)\)
• \([a]_R=[b]_R\)
• \([a]_R\cap [b]_R=\empty\)

定理 2. 设 \(R\) 是一个 \(A\) 上的等价关系，则由 \(R\) 定义出的等价类形成对 \(A\) 的划分（partition），相反地，给出一个 \(A\) 的划分，也存在一个与之对应的等价关系

9.6 偏序（Partial Orderings）

9.6.1 Introduction

定义 1. 称集合 \(S\) 上的关系 \(R\) 是一个偏序关系当且仅当 \(R\) 同时具有自反性，反对称性，传递性；二元组 \((S,R)\) 被称为一个偏序集（partial ordered set/poset）其中 \(S\) 中的元素被称为偏序集的元素

定义 2. 设偏序集 \((S,\preccurlyeq)\) ，\(a,b\) 是它的两个元素，则称 \(a,b\) 是可比的（comparable）当且仅当 \(a\preccurlyeq b\) 或 \(b\preccurlyeq a\)，若均不满足，则称 \(a,b\) 是不可比的（incomparable）

定义 3. 若偏序集中的任意两个元素都是可比的，则称 \(R\) 为一个全序关系（total ordering），相应偏序集也被称为全序集（如 \((\mathbb{Z},\leqslant)\)

定义 4. 称偏序集 \((S,\preccurlyeq)\) 是良序的（well-ordered）当且仅当 \(\preccurlyeq\) 是全序关系，且 \(S\) 的每个非空子集都有一个最小元素，如以字典序定义的 \(\preccurlyeq\)，就有：

• \((\mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+,\preccurlyeq)\) 是良序的
• \((\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},\preccurlyeq)\) 不是良序的（因为 \(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\) 不存在最小元素）

定理 1. 良序归纳原理（The Principle of Well-Ordered Induction） 设 \(S\) 是一个良序集，则 \(P(x)\) 对所有 \(x\in S\) 为真，当下列条件成立：

每个 \(y\in S\)，若所有 \(x\prec y\) 的 \(x\) 均有 \(P(x)\) 为真，则 \(P(y)\) 也为真

（这一步称为归纳步，induction step）

注意：这种归纳方法不需要 basis step，因为对 \(S\) 的最小元素 \(y_0\)，不存在 \(x\in S,x\prec y_0\)，此时 \(P(y_0)\) 自动为真（感觉有点奇怪）

9.6.3 Hasse Diagrams

当所有偏序关系中的二元数对以有向边连接，入点在上，出点在下，再删除所有可以通过传递性导出的边和自环，就可以得到哈塞图（Hasse Diagram）

具体的图可以看教材

定义 5. 设 \((S,\preccurlyeq)\) 为一个偏序集，\(x,y\in S\)，则称 \(y\) 覆盖（cover）\(x\) 当且仅当 \(x\prec y\) 且不存在另一个 \(z\in S\)，\(x\prec z\prec y\)，这样所有的 \((x,y)\) 形成的关系即为覆盖关系（covering relation）

容易发现哈塞图即由覆盖关系形成

9.6.4 Maximal and Minimal Elements

定义 6. 设偏序集 \((S,\preccurlyeq)\)，\(a\in S\)，则给出以下几个定义：

• \(a\) 为极大值（Maximal Element）当且仅当不存在 \(b\in S\)，\(a\prec b\)
• \(a\) 为最大值（Greatest Element）当且仅当任意 \(b\in S\)，\(b\preccurlyeq a\)
• \(a\) 为极小值（Minimal Element）当且仅当不存在 \(b\in S\)，\(b\prec a\)
• \(a\) 为最小值（Least Element）当且仅当任意 \(b\in S\)，\(a\preccurlyeq b\)

最大值/最小值若存在，则只有唯一一个，极大值/极小值可以有多个

定义 7. 设偏序集 \((S,\preccurlyeq)\)，集合 \(A\subseteq S,u\in S\)，则给出以下几个定义：

• 若 \(\forall a\in A\) 都有 \(a\preccurlyeq u\)，则称 \(u\) 是集合 \(A\) 的一个上界（upper bound）
• 若 \(\forall a\in A\) 都有 \(u\preccurlyeq a\)，则称 \(u\) 是集合 \(A\) 的一个下界（lower bound）
• \(u\) 是集合 \(A\) 的最小上界（least upper bound）当且仅当 \(u\) 是 \(A\) 的所有上界中最小的一个
• \(u\) 是集合 \(A\) 的最大下界（greatest lower bound）当且仅当 \(u\) 是 \(A\) 的所有下界中最大的一个

对集合 \(A\)，这四个都可能不存在

9.6.5 Lattices

定义 8. 若偏序集 \((S,\preccurlyeq)\) 满足其任意非空子集都存在最小上界和最大下界，则称该偏序集为一个栅格（lattice）

9.6.6 Topological Sorting

引理 1. 设 \((S,\preccurlyeq)\) 是一个有限偏序集，则 \(S\) 存在极小值

拓扑排序通过不断删除极小值来得到一个新的全序关系 \(a_1\prec_t a_2\prec_t\cdots\prec_t a_n\)，其中任意 \(x,y\in S\)，若 \(x\prec y\)，则有 \(x\prec_t y\)