[笔记] [离散数学及其应用] 第六章 计数

第六章 计数

6.1 计数基础（The Basic of Counting）

6.1.2 Basic Counting Principles

• 乘法原理：分步
• 加法原理：分类

6.1.4 The Subtraction Rule（Inclusion-Exclusion for Two Sets）

\[|A_1\cup A_2|=|A_1|+|A_2|-|A_1\cap A_2| \]

6.1.6 Tree Diagrams

用树形图来展示所有的可能性（类似 Trie 树）

6.2 鸽巢原理（The Pigeonhole Principle）

6.2.1 Introduction

定理 1. \(\ge k+1\) 个物品放入 \(k\) 个盒子中，则至少有一个盒子放了至少 \(2\) 个物品

推论 1. 由 \(\ge k+1\) 个元素的集合到 \(k\) 个元素的集合的所有函数都不是一对一的（one-to-one）

6.2.2 The Generalized Pigeonhole Principle

定理 2. \(n\) 个物品放入 \(k\) 个盒子中，则至少有一个盒子放了至少 \(\left\lceil\dfrac{n}{k}\right\rceil\) 个物品

6.2.3 Some Elegant Applications of the Pigeonhole Principle

定理 3. 任意一个长为 \(n^2+1\) 的序列（序列中元素两两不同），则存在一个长为 \(n+1\) 的严格单增或严格单减子序列

6.3 排列和组合（Permutations and Combinations）

6.3.2 Permutations

定理 1. 设 \(n,r\) 均为正整数且 \(1\le r\le n\)，则存在 \(P(n,r)=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)\) 种不同的 \(n\) 个元素的长为 \(r\) 的排列

推论 1. \(P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\)

6.3.3 Combinations

定理 2. 设 \(n,r\) 均为正整数且 \(1\le r\le n\)，则存在 \(C(n,r)=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\) 种不同的 \(n\) 个元素的长为 \(r\) 的组合

推论 2. \(C(n,r)=C(n,n-r)\)

定义 1. combinatorial proof：利用组合意义或通过建立双射完成证明的手段

6.4 二项式系数及恒等式（Binomial Coefficients and Identities）

6.4.1 The Binomial Theorem

定理 1. 二项式定理（The Binomial Theorem）

\[(x+y)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}x^iy^{n-i} \]

推论 1. \(\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}=(1+1)^n=2^n\)

推论 2. \(\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}(-1)^n=(1-1)^n=[n=0]\)

推论 1. \(\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}2^n=(2+1)^n=3^n\)

6.4.2 Pascal's Identity and Triangle

定理 2. 帕斯卡恒等式（Pascal's Identity） 设 \(n,k\ge 1,n\ge k\) 则

\[\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1} \]

（讨论 \(n\) 个元素中的某个元素有没有选即可）

6.4.3 Other Identities Involving Binomial Coefficients

定理 3. 范德蒙德恒等式（Vandermonde‘s identity）

\[\binom{m+n}{r}=\sum_{k=0}^r\binom{m}{k}\binom{n}{r-k} \]

（从 \(m+n\) 个物品中选 \(k\) 个，则考虑分别从 \(m\) 个和 \(n\) 个物品中选了 \(k\) 个和 \(r-k\) 个）

（需要扩展组合数的定义到 \(n,m\le 0\) 或 \(n\le m\) 的情况，不过这些都是平凡的）

推论 4. \(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}\)

定理 4. \(\binom{n+1}{m+1}=\sum_{k=m}^n\binom{k}{m}\)（列向前缀和有封闭形式，行向前缀和无封闭形式）

6.5 广义排列组合（Generalized Permutations and Combinations）

6.5.2 Permutations with Repetition

定理 1. 长为 \(r\) 的 \(n\) 个元素的排列，允许元素重复，则排列数为 \(n^r\)

6.5.3 Combinations with Repetition

定理 2. 长为 \(r\) 的 \(n\) 个元素的组合，允许元素重复，则组合数为 \(\binom{n+r-1}{n-1}\)

证明：对 \(r\) 进行查板，划分成 \(n\) 个可以为空的部分

6.5.4 Permutations with Indistinguishable Objects

定理 3. 多重组合数，有 \(n_1\) 个物品 \(1\)，\(n_2\) 个物品 \(2\)，\(\cdots\)，\(n_m\) 个物品 \(m\)，则它们的排列数为：

\[\binom{n}{n_1,n_2,\cdots,n_m}=\dfrac{n!}{\prod_{i=1}^m n_i!}\ \ \ \ \ \ \ \left(n=\sum_{i=1}^m n_i\right) \]

6.5.5 Distributing Objects into Boxes

1. 盒子可区分，小球可区分
   则设第 \(i\) 个盒子个小球，共有 \(n=\sum n_i\) 个小球，则方案数即为广义组合数 \(\binom{n}{n_1,\cdots}\)

2. 盒子可区分，小球不可区分
   则此时我们只关注每个盒子里放了多少个球，换言之，求 \(x_1+x_2+\cdots+x_m=n\) 的解个数
   若 \(x_i\ge0\)，则方案数为 \(\binom{n+m-1}{m-1}\)

3. 盒子不可区分，小球可区分
   将 \(n\) 个可区分的小球放到 \(m\) 个不可区分的盒子中，每个盒子至少放一个
   则方案数为第二类斯特林数 \({n\brace m}\)，有边界条件，递推关系，表达式如下，可以使用二项式反演或容斥原理推导（本质相同）

   \[\begin{aligned} &{0\brace 0}=1\\ &{n\brace 0}=0\ \ \ (n\ge 1)\\ &{n\brace m}={n-1\brace m-1}+m{n-1\brace m}\\ &{n\brace m}=\dfrac{1}{m!}\sum_{k=0}^m (-1)^k\binom{m}{k}(m-k)^n \end{aligned} \]

   若允许盒子有空，则方案数为斯特林数一行的前缀和