转贴:Josephus问题

原文地址及原作者不详

1. 问题的由来
Josephus问题是以10世纪的著名历史学家Flavius Josephus命名的. 据说, Josephus如果没有数学才能, 他就不会在活着的时候出名! 在犹太人和古罗马人战争期间, 他是陷如罗马人陷阱的41个犹太反抗者之一. 反抗者宁死不做俘虏, 他们决定围成一个圆圈,且围绕圆圈来进行, 杀死所有第3个剩下的人直到没有一个人留下. 但是, Josephus和一个不告发的同谋者感到自杀是愚蠢的行为, 所以以他快速计算出在此恶性循环中他和他的朋友应该站的地方. 因此, 他们活了下来...
2.  平凡的解法 
 
我们用一个循环连表来模拟他们的行为。为了省事,我直接找了一个一个java代码: 
 
class  Josephus   
{   
           static  class  Node   
           { 
                       int  val;  Node  next;   
                       Node(int  v)  {  val  =  v;  }   
           }   
           public  static  void  main(String[]  args)   
           { 
                       int  N  =  Integer.parseInt(args[0]);   
                       int  M  =  Integer.parseInt(args[1]);   
 
                       Node  t  =  new  Node(1);   
                       Node  x  =  t;   
 
                       for  (int  i  =  2;  i    <=  N;  x  =  (x.next=new  Node(i++)));   
                       x.next  =  t;   
 
                       while  (x  !=  x.next)   
                       {   
                                   for  (int  i  =  1;  i    <  M;  i++)  x  =  x.next;   
                                   x.next  =  x.next.next;   
                       }   
                       Out.println(  "Survivor  is    "  +  x.val);   
           }   
}
 
3.  递归公式 
 
喜欢这个问题的朋友肯定不满足上面的方法,很想知道更简单的算法。 
其实Josephus问题中的序列确实存在递归的公式。但是递归公式的推导 
比较麻烦,我就直接给出结果。如果想了解详细过程可以查阅相关资料。 
 
假设有n个人,每次杀第m个人,则k为第k个被杀死的人... 
 
j1:  x    <-  k*m 
j2:  if(x    <=  n)  输入结果x 
j3:  x    <-  floor((m*(x-n)-1)  /  (m-1)),  goto  j1 
 
以C语言实现如下: 
 
unsigned  josephus(unsigned  m,  unsigned  n,  unsigned  k) 

           unsigned  x  =  km; 
           while(x    <=  n)  x  =  (m*(x-n)-1)/(m-1); 
           return  x; 
4. m为2的情况 
 
现在考虑一种m为2的特殊情形。 
这时候有更简单的递归公式: 
 
x  =  2*n  +  1  -  (2*n+1-2*k)*2^log2((2*n)/(2*n+1-2*k)) 
 
其中,log2((2*n)/(2*n+1-2*k))为计算(2*n)/(2*n+1-2*k)以2为底的对数, 
结果向下取整数。 
 
联系2^log2((2*n)/(2*n+1-2*k))整体,可以理解为将(2*n)/(2*n+1-2*k)向下 
舍取到2的幂。有些地方把这中运算称为地板函数,我们定义为flp2,下面是 
C语言的实现: 
 
unsigned  flp2(unsigned  x) 

           unsigned  y; 
           do  {  y  =  x;  x  &=  x-1;  }while(x);   
           return  y;   

其中x  &=  x-1;语句是每次把x二进制最右边的1修改为0,直到最左边的1为止. 
这种方法也可以用来计算x二进制中1的数目,当x二进制中1的数目比较小的 
时候算法的效率很高。
m为2的代码实现:
unsigned josephus2k(unsigned n, unsigned k)
{
unsiged t = (n<<1) - (k<<1) + 1;
return (n<<1)+1 - t*flp2((n<<1)/t);
5. m为2的情况, k为n的情形
该问题一般都是计算最后一个被杀的人的位置。
现在考虑更为特殊的,m为2的情况, k为n的情形。
令k=n可以化简前边m=2的公式:
x = 2*n + 1 - (2*n+1-2*n)*2^log2((2*n)/(2*n+1-2*n))
即,x = 2*n + 1 - 2^log2(2*n)
从二进制的角度可以理解为:
将n左移1位(即乘以2),然后将最右端设置为1(既加1),
最后将左端的1置为0(既减去2*n的向下取的2的幂)。
更简单的描述是将n的二进制表示循环右移动一位!
例如: n为1011001 -> 0110011 -> 110011
用代码实现为:
unsigned josephus2n(unsigned n)
{
return ((n-flp2(n))<<1)|1;
}
===================
class Josephus
{
static class Node
{
int val; Node next;
Node(int v) { val = v; }
}
public static void main(String[] args)
{
int N = Integer.parseInt(args[0]);
int M = Integer.parseInt(args[1]);
Node t = new Node(1);
Node x = t;
for (int i = 2; i <= N; x = (x.next=new Node(i++)));
x.next = t;
while (x != x.next)
{
for (int i = 1; i < M; i++) x = x.next;
x.next = x.next.next;
}
Out.println("Survivor is " + x.val);
}
}
unsigned josephus(unsigned m, unsigned n, unsigned k)
{
unsigned x = km;
while(x <= n) x = (m*(x-n)-1)/(m-1);
return x;
}
unsigned flp2(unsigned x)
{
unsigned y;
do { y = x; x &= x-1; }while(x);
return y;
}
unsigned josephus2n(unsigned n)
{
return ((n-flp2(n))<<1)|1;
}
unsigned josephus2k(unsigned n, unsigned k)
{
unsiged t = (n<<1) - (k<<1) + 1;
return (n<<1)+1 - t*flp2((n<<1)/t);
}

参考knuth相关著作
 
 
 
 
#include<iostream>
using namespace std;
typedef struct Josephus
{
int value;
Josephus *next;
}JS,*pJS;
int main()
{
pJS l,p,q;
l=new JS;
l->value =1;
l->next =l;
q=l;
for (int i=2;i<=2000;i++)
{
p=new JS;
p->value =i;
        p->next =l;
q->next =p;
q=q->next;
}
while(q->next!=q)
{
p=q->next;
q->next=q->next->next;
q=q->next;
delete p;
}
cout<<q->value<<endl;
system("pause");
return 0;
}
结果:1952
 
posted @ 2008-06-11 15:25  winter-cn  阅读(...)  评论(...编辑  收藏