求最大子数组之和

求最大子数组之和

问题描述：一个有n个元素的数组，这n个元素可以是正数也可以是负数，求最大子数组的和。

方法1：蛮力法

思路：最简单也是最容易想到的方法就是找出所有子数组，然后求所有子数组的和，在所有子数组的和中取最大值。

/**
     * 方法1（蛮力法）：两次循环求最大子数组之和
     */
    public static int maxSubArray1(int[] a){
        int i,j;
        int ThisSum=0;
        int MaxSum=0;
        for (i = 0; i < a.length; i++) {
            ThisSum=a[i];
            for(j=i+1;j<a.length;j++){
                ThisSum+=a[j];
                if(ThisSum>MaxSum){
                    MaxSum=ThisSum;
                }
            }
        }
        return MaxSum;
    }

方法2：优化的动态规划

思路：首先可以根据数组的最后一个元素a[n-1]与最大子数组的关系分为以下三种情况：

1) 最大子数组包含a[n-1]，即以a[n-1]结尾。

2) a[n-1]单独构成最大子数组。

3) 最大子数组不包含a[n-1]，那么求a[1,...,n-1]的最大子数组可以转换为求a[1,...,n-2]的最大子数组。

通过上述分析可以得出如下结论：假设已经计算出(a[0],...a[i-1])最大的一段数组和为All[i-1]，同时也计算出(a[0],...a[i-1])中包含a[i-1]的最大的一段数组和为End[i-1]，

则可以得出如下关系：All[i-1]=max{a[i-1],End[i-1],All[i-1]}。利用这个公式和动态规划的思想解决问题。(代码中还解决了起始位置，终止位置的问题)

/**
     * 方法2：优化的动态规划方法
     * nEnd就是通过“数组依次相加加到a[i]，然后与a[i]做比较”得来的，保存较大的。因为如果前面的数加到a[i]
     * 还没有a[i]本身大，那么前面的数也就对最大子数组和没有贡献。厉害
     * nAll就是记录一下之前的新得到的nEnd和自身之前谁更大
     */
    public static int max(int m,int n){
        return m>n?m:n;
    }
    public static int maxSubArray2(int[] a){
        int nAll=a[0];//有n个数字数组的最大子数组之和
        int nEnd=a[0];//有n个数字数组包含最后一个元素的子数组的最大和
        for (int i = 1; i < a.length; i++) {
            nEnd=max(nEnd+a[i],a[i]);
            nAll=max(nEnd, nAll);
        }
        return nAll;
    }
    private static int begin=0;
    private static int end=0;
    /**
     * 求出最大子数组的开始begin，结尾end，以及整个子数组
     */
    public static int maxSubArray3(int[] a){
        int maxSum=Integer.MIN_VALUE;
        int nSum=0;
        int nStart=0;
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            if(nSum<0){
                nSum=a[i];
                nStart=i;
            }
            else{
                nSum+=a[i];
            }
            if(nSum>maxSum){
                maxSum=nSum;
                begin=nStart;
                end=i;
            }
        }
        return maxSum;
    }