wing_heart(:

摘要： 题意：给定长为\(n\)序列\(\{a_i\}\)与正整数\(k\)，\(n,m \leq 2×10^5\)，\(1 \leq a_i \leq 10^6\)，有\(m\)次操作，包括修改\(a_x = y\)和查询\([l,r]\)内长度为\(k\)且两两互质的子区间个数。思路： 1. **刻画不互质关系**：将\(a_i\)分解质因数，每个质因数用set维护有相同质因数且小于当前位置的最大位置，以确定\(p_i\)（\(a_i\)最近的使\(gcd(a_i, a_{p_i}) > 1\)且\(p_i < i\)的位置）。修改\(a_x\)时，更新相关set与\(p_{next(x)}\)及\(p_x\)，时间复杂度\(O((n + m)\log^2)\)。 2. **区间查询实现**：因\(k\)固定，维护以\(x\)为左端点的\([x, x + k - 1]\)区间合法性。\(p_i > i - k\)时，标记\([i - k + 1, p_i]\)不合法。通过线段树维护区间最小值及最小值个数，将求无标记子区间个数转化为查询线段树，从而解决查询操作。 阅读全文

摘要： - **思路一**：先考虑 $m = 1$ 的情况，通过推导得出维护 $sum_{i \in [0,k]} = \sum_{j \in [l + 1,n]} s_{j}^i$ 的方法，时间复杂度为 $O(Nk^2)$。对于 $m \neq 1$ 的情况，枚举矩形的 $y1,y2,x1$，按照类似思路计算，时间复杂度为 $O(N\sqrt{N}k^2)$。 - **思路二**：同样先看 $m = 1$ 时，对答案表达式进行展开和变形，利用后缀和计算，得出时间复杂度为 $O(Nk)$。当 $m \neq 1$ 时，枚举矩形的 $y1,y2,x1$，对答案表达式展开，同样利用后缀和计算，时间复杂度为 $O(N \sqrt{N} k)$，相比思路一少一个 $k$ 的复杂度 。 阅读全文