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摘要： 给定一个无向图，要求构造边染色方案，使每个点相连的蓝色边与白色边数量差不超过1。解法：添加虚点连接所有奇度点，使全图度数为偶。对每个连通块求欧拉回路（使用 $ DFS $ 算法），在回路路径上交替染色：第一条边染蓝色（ $ col=1 $ ），第二条染白色（ $ col=0 $ ），第三条染蓝色，依此类推。虚边不参与最终输出。可证每个实点入边与出边数量相等且染色交替，故 $ |E_{\text{blue}} - E_{\text{white}}| = 0 $；原度数为奇的点通过虚边调节后满足 $ |\Delta| \leq 1 $ 。时间复杂度为 $ O(n + m) $ 。 阅读全文

摘要： 给定一个有 $ n $ 个节点的树，节点 $ i $ 的颜色为 $ c_i $ 。定义一个点集 $ S $ 的价值为 $ 2^t $ ，其中 $ t $ 是包含 $ S $ 所有节点的最小连通块的颜色种类数。求所有可能点集选择方案的价值总和，结果对 $ 10^9 + 7 $ 取模。解法预处理第二类斯特林数 $ S(n,k) $ ，并定义函数 $ h(k) = \sum_{i=1}^{n-k} S(n-k,i) (i+1)! $ 。枚举颜色子集 $ T $ ，删除非 $ T $ 颜色节点形成森林，计算贡献和 $ f(T) $ 。通过子集反演求 $ g(T) = \sum_{T' \subseteq T} (-1)^{|T| - |T'|} f(T') $ 。最终答案为 $ \sum_{T} 2^{|T|} g(T) $ 。时间复杂度为 $ O(n^2 + 2^c n + 3^c) $ ，其中颜色数 $ c \leq 10 $ ，利用颜色小范围优化。 阅读全文