洛谷 P6511 [QkOI#R1] Quark and Equations 数学

首先要进行一些特判：

1. 当 $m=1$ 或 $n=1$ 或 $m>n$ 时，结果为 $0$

2. 当 $m=n$ 或 $m=n-1$ 时，结果为 $1$

此时 $2\le m\le n-2$，对 $i<j$ 和 $i\ge j$ 这两种情况分别进行讨论：

1. $i<j$ 时，原式子变成

$\lceil\frac{j}{i}\rceil=m$

由于 $\lceil\dfrac{j}{i}\rceil=\lfloor\dfrac{j-1}{i}\rfloor+1$，因此上式等价于：

$\begin{aligned} \lfloor\dfrac{j-1}{i}\rfloor+1&=m\\ \end{aligned}$

再代入 $i+j=n$ 得：

$\begin{aligned} \lfloor\dfrac{n-i-1}{i}\rfloor+1&=m\\ \lfloor\dfrac{n-1}{i}\rfloor&=m\qquad (1)\\ \end{aligned}$

因此转化为 $i<j$ 时，有多少个 $i$ 满足式 $(1)$ 。

2. $i\ge j$ 时，原式子变成

$\begin{aligned} \lfloor\frac{i}{j}\rfloor&=m-1\\ \lfloor\frac{n-j}{j}\rfloor&=m-1\\ \lfloor\frac{n}{j}\rfloor&=m\qquad(2)\\ \end{aligned}$

因此转化为 $i>j$ 时，有多少个 $j$ 满足式 $(2)$。

然后可以推出各自的范围：

$i<j$ 时：
$\begin{aligned} \lfloor\frac{n-1}{i}\rfloor&=m\\ m&\le\frac{n-1}{i}\\ i&\le\frac{n-1}{m}\\ i&\le\lfloor\frac{n-1}{m}\rfloor\text{ 因为 $i$ 是整数}\\ m&>\frac{n-1}{i}-1\\ m+1&>\frac{n-1}{i}\\ i&>\frac{n-1}{m+1}\\ i&\ge\lfloor\frac{n-1}{m+1}\rfloor+1\\ \end{aligned}$

$i\ge j$ 时：

$\begin{aligned} \lfloor\frac{n}{j}\rfloor&=m\\ m&\le\frac{n}{j}\\ j&\le\frac{n}{m}\\ j&\le\lfloor\frac{n}{m}\rfloor\\ m&>\frac{n}{j}-1\\ m+1&>\frac{n}{j}\\ j&>\frac{n}{m+1}\\ j&\ge\lfloor\frac{n}{m+1}\rfloor+1\\ \end{aligned}$

因此得到两个不等式组：

$\begin{aligned} &\begin{cases} i&\le\lfloor\dfrac{n-1}{m}\rfloor\\ i&\ge\lfloor\dfrac{n-1}{m+1}\rfloor+1\\ \end{cases}\\ &\begin{cases} j&\le\lfloor\dfrac{n}{m}\rfloor\\ j&\ge\lfloor\dfrac{n}{m+1}\rfloor+1\\ \end{cases} \end{aligned}$

因此最终的答案就是

$\lfloor\dfrac{n-1}{m}\rfloor-\lfloor\dfrac{n-1}{m+1}\rfloor+\lfloor\dfrac{n}{m}\rfloor-\lfloor\dfrac{n}{m+1}\rfloor$

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T;
ll n,m;
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        ll res=0;
        if(m==1||m>n||n==1)res=0;
        else if(m==n||m==n-1)res=1;
        else res=(n-1)/m-(n-1)/(m+1)+n/m-n/(m+1);
        printf("%lld\n",res);
    }
    return 0;
}

当时我是用分块做的：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T;
ll n,m;
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        ll res=0;
        if(m==1||m>n||n==1)res=0;
        else if(m==n||m==n-1)res=1;
        else{
            //if(m==2&&(n%2==0))res++;
            ll k;
            ll i=(n-1)/(m+1);
            for(;i<=(n-1)/2;i=k+1){
                k=(n-1)/((n-1)/i);
                if((n-1)/i==m){
                    res+=k-i+1;
                    break;
                }
            }
            ll j=n/(m+1);
            for(;j<=(n-1)/2;j=k+1){
                k=n/(n/j);
                if(n/j==m){
                    res+=k-j+1;
                    break;
                }
            }
        }
        printf("%lld\n",res);
    }
    return 0;
}