算法中的一些巧妙用法及总结

算法技巧

字符串哈希

当我们预处理出一个字符串的哈希值后，可以\(O(1)\)的求出删除中间任意一个字符后的字符串的哈希值。
设长度位\(len\)，哈希表进制为\(base\),删除第\(k\)位
则

\[HASH=hs[k-1]*base^{len-k}+hs[len]-hs[k]*base^{len-k} \]

质数与因数相关

求一个数的因子数

对于一个有\(m\)个质因子的数\(x\),有

\[x=a_1^{k_1}*a_2^{k_2}*\cdots*a_m^{k_m} \]

设\(x\)的因子数为\(f(x)\)，则

\[f(x)=(k_1+1)*(k_2+1)*(k_3+1)*\cdots*(k_m+1) \]

由此可进而推得，若想要去掉一个数的一个任意因子，使得剩余的因子数最多，则应去掉所有质因子中指数最大的一个。

证明：显然，去掉质因子一定比去掉合数因子所剩的因子数最多。考虑指数与贡献的关系。观察上面式子可知，去掉任意一个质因子\(a_i\)，即使得 \(a_i^{k_i}\)中的\(k_i\)变为\(k_i-1\)，那么得到的数\(x'\)的因子数

\[f(x')=f(x)*\frac{k_i}{k_i+1} \]

容易看出来，\(k_i\)越大，结果越大。因此要使得得到的新数因子数最多，以去掉一个指数最大的质因子，证毕。

迷宫问题

对于一些仅有两个不相反行进方向的走迷宫题目，可以考虑枚举步数和某一坐标，此时当一个坐标确定时，另一个坐标也可以确定。
如下

f1(i,3,n+m){
    c='z';
    f1(j,1,min(i,n)){
        x=j,y=i-j;
        if((f[x-1][y]||f[x][y-1])&&i-j<=m)c=min(c,s[x][y]);
    }
    putchar(c);
    f1(j,1,min(i,n))if(s[j][i-j]==c&&i-j<=m&&(f[j-1][i-j]||f[j][i-j-1]))f[j][i-j]=1;
}

简单环的求解

考虑在欧拉回路中求简单环。
当我们使用dfs求出欧拉回路的路径且将其压入栈后，可以直接遍历欧拉回路，并依次将路径压入栈。
在这期间，一旦有一个点被偶数次经过，就可以弹栈，直到栈顶为该点时，停止弹出。
这些弹出的路径就会形成一个简单环。
可以保证所有的环互不重叠，但不唯一
例题

有关位运算

位运算有些结论是需要记忆的，随时可能会考
1.当一串数求与(\(&\))和时，要注意最大值一定会小于等于数列中的最小值
2.当选取一串数求或(\(|\))和时，每一次或运算一定不会让结果变小。
3.异或运算又称不进位加法，因此在异或运算下，他的每一位的计算可以看作独立的。又因为期望的可加性，所以异或可以结合期望算期望异或和。
4.任何一个数异或两次之后都等于0。