异或的常用性质

异或的定义

异或是一个数学运算符，它应用于逻辑运算与计算机中的位运算。

令 \(p\) 和 \(q\) 为命题。\(p\) 和 \(q\) 的异或是这样一个命题：当 \(p\) 和 \(q\) 中恰好只有一个为真时命题为真，否则为假。\(p\) 异或 \(q\) 通常记作 \(p \ \text{xor}\ q\) 或 \(p \oplus q\)。在编程语言中通常为 p^q。

如 \(p\)、\(q\) 两个值不相同，则异或结果为 \(1\)。如果 \(p\)、\(q\) 两个值相同，异或结果为 \(0\)，即异或的运算法则为：\(0 \oplus 0 = 0\)，\(1 \oplus 0 = 1\)，\(0 \oplus 1 = 1\)，\(1 \oplus 1 = 0\)（同为 \(0\)，异为 \(1\)）。这种运算捕捉了输入位的“排他性”，即输入不能同时为真。

异或也叫半加运算，其运算法则相当于不带进位的二进制加法：二进制下用 \(1\) 表示真，\(0\) 表示假，这些法则与加法是相同的，只是不带进位，所以异或常被认作不进位加法。

异或的性质

异或的一般性质

交换律

两个命题（或二进制数）进行异或运算时，交换它们的位置，结果不变：\(p \oplus q = q \oplus p\)。

结合律

三个或多个值进行连续异或运算时，运算顺序不影响最终结果：\(p \oplus (q \oplus r) = (p \oplus q) \oplus r\)。

恒等律

任意值与 \(0\) 进行异或运算，结果等于它本身：\(p \oplus 0 = p\)。

归零律

任意值与自身进行异或运算，结果一定为 \(0\)：\(p \oplus p = 0\)。

对合运算

对同一个值连续两次异或（先与 $ q $ 异或，再与同一个 $ q $ 异或），相当于没有变化： \(p \oplus q \oplus q = p \oplus 0 = p\)。

逆元

对于任何 bool 值 \(a\), 有 \(a \oplus 0 = a\) 与 \(a \oplus a = 0\), 即对于异或操作，每一个 bool 值 \(a\) 的逆元就是它本身。

可逆性

若 \(A \oplus B = C\)，则 \(A \oplus C = B\) 且 \(B \oplus C = A\)。

拓展性质

与、或、异之间的关系

\[a \oplus b = (a | b) - (a \& b) \]

\[a \oplus b = (a + b) - 2(a \& b) \]

\[a \oplus b = (\sim a) \oplus (\sim b) \]

与或的包含关系

\[A \oplus B = (A | B) - (A \& B) \]

\[A \& B = \frac{A + B - (A \oplus B)}{2} \]

和与异或的差值固定

和与异或的差是“进位值”的两倍：\((A + B) - (A \oplus B) = 2 \cdot (A \& B)\)。

奇偶性与最低位独立

\[\text{lsb}(A \oplus B) = \text{lsb}(A) \oplus \text{lsb}(B) \]

其中 \(\text{lsb}(x)\) 表示最低位（\(0\) 或 \(1\)）。

奇偶个数定理

• \(偶数 \oplus 偶数 = 偶数 \implies (2x) \oplus (2y) = 2(x\oplus y)\)。
• \(奇数 \oplus 奇数 = 偶数 \implies (2x +1) \oplus (2y+1) = 2(x\oplus y)\)。
• \(偶数 \oplus 奇数 = 奇数 \implies (2x) \oplus (2y + 1) = 2(x\oplus y) + 1\)。

推论：多个数异或 ⟹ 结果为奇数当且仅当其中奇数个数为奇数。

数值界限

上限

对于两个整数 \(a, b\)，\(a \oplus b \le a + b\)，当 \(a \& b = 0\) 时等号成立。

下限

对于两个整数 \(a, b\)，\(a \oplus b \ge |a - b|\)。

其它性质与运用

找出现奇数次的数

给出一个数组，只有一个数出现奇数次，其余偶数次，求这个出现奇数次的数

全部异或一遍，即得该数，即：

\[ans = \bigoplus_{i=1}^{n} a_i \]