OI 数学定理（提高级）

数论和线性代数

质数与约数

1. 算数基本定理

每个数都能唯一的表示成它的质因数的乘积。

\[n=p_1^{a_1} p_2^{a_2} p_3^{a_3} \cdots p_s^{a_s},p_1<p_2<p_3<\cdots<p_s \]

2. 约数

\[N=\prod_{i=1}^{k} p_i^{a_i} = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k} \]

• 约数个数：\(\prod_{i=1}^{k}(a_i + 1)=(a_1 +1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)\)

• 约数之和：

\[\prod_{i=1}^{k} \sum_{j=0}^{a_i} p_i^j = (p_1^0+p_1^1+\cdots+p_1^{a_1})(p_2^0+p_2^1+\cdots+p_2^{a_2})\cdots(p_k^0+p_k^1+\cdots+p_k^{a_k}) \]

3. 积性函数

定义在所有正整数上的函数称为算术函数。如果算术函数 \(f\) 对任意两个互素的正整数 \(p\) 和 \(q\)，均有：

\[f(pq)=f(p)f(q) \]

如果对任意两个正整数 \(p\) 和 \(q\)，均有 \(f(pq)=f(p)f(q)\)，称为完全积性函数。

• 积性函数的和函数也是积性函数。如果 \(f\) 是积性函数，那么 \(f\) 的和函数 \(F(n)=\sum_{d|n} f(d)\) 也是积性函数。

4.常见积性函数

• 恒等函数 \(I(n)\)：

\[I(n)=n \]

• 单位函数 \(id(n)\)：

\[id(n)=n \]

• 幂函数 \(I_k(n)\)：

\[I_k(n)=n^k \]

• 元函数 \(\varepsilon(n)\)：

\[\varepsilon(n)=\begin{cases} 1,&n=1\\ 0,&n>1 \end{cases} \]

• 因子和函数 \(\sigma(n)\)：

\[\sigma(n)=\sum_{d|n} d \]

• 约数个数 \(d(n)\)：

\[d(n)=\sum_{d|n} 1 \]

5. 欧拉函数

设 \(n\) 是一个正整数，欧拉函数 \(\varphi(n)\) 定义为不超过 \(n\) 且与 \(n\) 互素的正整数的个数。
定理：设 \(p\) 和 \(q\) 是互素的正整数，那么 \(\varphi(pq)=\varphi(p)\varphi(q)\)。

• 若 \(p\) 是质数，则 \(\varphi(p)=p-1\)。
• 若 \(p\) 是质数，则 \(\varphi(p^k)=(p-1)p^{k-1}\)。
• 积性函数：若 \(\gcd(m,n)=1\)，则 \(\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\)。

计算方法：

\[\varphi(n) = \prod_{i=1}^{r} p_i^{k_i-1}(p_i-1) = \prod_{p|n} p^{\alpha_p-1} (p-1) = n \prod_{p|n} \frac{p-1}{p} \]

6. 唯一分解定理

\[n=\prod_{i=1}^{s} p_i^{a_i} \]

7. 莫比乌斯函数的定义

\[\mu(n)=\begin{cases} 1&n=1\\ 0&n 含相同质因子\\ (-1)^s& s为n的质因子个数 \end{cases} \]

8. 欧拉定理

对于整数 \(a\) 和正整数 \(m\)，如果 \(a\) 和 \(m\) 互质，即 \(\gcd(a,m)=1\)，则 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 (\text{mod} \space m)\)。

裴蜀定理与同余式

1. 最大公因数

• \(\gcd(a,b) = \gcd(a,a+b) = \gcd(a,k\cdot a+b)\)

• \(\gcd(ka,kb)=k\cdot \gcd(a,b)\)

• 若 \(\gcd(a,b)=d\)，则 \(\gcd(\frac{a}{d},\frac{b}{d})=1\)，即 \(\frac{a}{d}\) 与 \(\frac{b}{d}\) 互质。

• \(\gcd(a+cb,b)=\gcd(a,b)\)

2. 最小公倍数

• $ \text{lcm}(a, b) = a\times b\div \gcd(a, b) = a\div\gcd(a, b)\times b$

3. 裴蜀定理

对于整数 \(a\)，\(b\)，设 \(d=\gcd(a,b)\)，对于整数 \(m\)，方程 \(ax+by=m\) 有解当且仅当 \(m\) 是 \(d\) 的倍数。特别的，\(ax+by=1\) 有解当且仅当 \(a\) 与 \(b\) 互质。（如果 \(a\) 与 \(b\) 均为整数，则有整数 \(x\) 和 \(y\) 使得 \(ax + by = \gcd(a, b)\)）

4. 模运算的性质

• 加：\((a+b) \mod m = [(a \mod m) + (b \mod m)] \mod m\)

• 减：\((a-b) \mod m = [(a \mod m) - (b \mod m)] \mod m\)

• 乘：\((a\times b) \mod m = [(a \mod m) \times (b \mod m)] \mod m\)

5. 同余

设 \(m\) 是正整数，若 \(a\) 和 \(b\) 是整数，且 \(m | (a - b)\)，则称 \(a\) 和 \(b\) 模 \(m\) 同余。\(a\) 除以 \(m\) 得到的余数，和 \(b\) 除以 \(m\) 的余数相同；或者说，\(a - b\) 除以 \(m\)，余数是 \(0\)。

把 \(a\) 和 \(b\) 模 \(m\) 同余记为 \(a\equiv b (\text{mod}\space m)\)，\(m\) 称为同余的模。

6. 逆

给定整数 \(a\)，且满足 \(\gcd(a, m) = 1\)，称 \(ax\equiv 1(\text{mod}\space m)\) 的一个解为 \(a\) 模 \(m\) 的逆。记为 \(a^{-1}\)。

7. 逆与除法取模

设 \(b\) 的逆元是 \(b^{-1}\)，有：

\[(a\div b)\mod m = [(a\div b)\mod m][(bb^{-1})\mod m]=(a\div b \times bb^{-1}) \mod m = (ab^{-1})\mod m \]

经过上述推导，除法的模运算转换为乘法模运算，即：

\[(a\div b)\mod m = (ab^{-1})\mod m = (a\mod m)(b^{-1} \mod m) \mod m \]

8. 威尔逊定理

若 \(p\) 为素数，则 \(p\) 可以整除 \((p - 1)! + 1\)。

• \((p-1)!\equiv -1(\text{mod}\space p)\) 是 \(p\) 为质数的充分必要条件。

不定方程与同余方程

1. 二元线性丢番图方程

• 二元线性丢番图方程 \(ax+by=c\)。（\(a,b,c\) 是已知整数，\(x,y\) 是变量，问是否有整数解）\(ax + by = c\) 有解的充分必要条件是 \(d = \gcd(a, b)\) 能整除 \(c\)。

• 设 \(a\)，\(b\) 是整数且 \(\gcd(a, b) = d\)。

  • 如果 \(d\) 不能整除 \(c\)，方程 \(ax + by = c\) 没有整数解
  • 如果 \(d\) 能整除 \(c\)，那么存在无穷多个整数解。
  • 如果 \((x_0，y_0)\) 是方程的一个特解，通解：
    \(x = x_0 + (b\div d)n\)
    \(y = y_0 - (a\div d)n\) 其中 \(n\) 是任意整数。

2. 扩展欧几里得算法与二元丢番图方程的解

• 判断方程 \(ax + by = c\) 是否有整数解，即 \(\gcd(a,b)\) 能整除 \(c\)。记 \(d = \gcd(a,b)\)。

• 方程 \(ax + by = c\) 的通解：\(x = x_0' + (b\div d)n，y = y_0' - (a\div d)n\)

3. 一元线性同余方程

• 设 \(x\) 是未知数，给定 \(a\)、\(b\)、\(m\)，求整数 \(x\)，满足 \(ax \equiv b (\text{mod}\space m)\)。

• 求解一元线性同余方程等价于求解二元线性丢番图方程。

4. 中国剩余定理

\[\begin{cases} x \equiv a_1 (\text{mod}\space m_1)\\ x \equiv a_2 (\text{mod}\space m_2)\\ \cdots\\ x \equiv a_n (\text{mod}\space m_n) \end{cases}\]

对于上述方程，若 \(m_1,m_2,\cdots,m_3\) 两两互质，则在模 \(M=m_1 m_2\cdots m_n\) 下，方程仅有一个解。令 \(M_i=\frac{M}{m_i}\)，\(v_i\equiv M_i^{-1} (\text{mod}\space m_i)\) 则方程解为：

\[x\equiv a_1 M_1 v_1 + a_2 M_2 v_2 +\cdots + a_n M_n v_n \]

\[x=\sum_{i=1}^{n} r_i c_i c_i^{-1} (\text{mod}\space M) \]

5. 扩展中国剩余定理

\[\begin{cases} x \equiv a_1 (\text{mod}\space m_1)\\ x \equiv a_2 (\text{mod}\space m_2)\\ \cdots\\ x \equiv a_n (\text{mod}\space m_n) \end{cases}\]

对于上述方程，\(m_1,m_2,\cdots,m_3\) 为不一定两两互质的整数。

• 其特解：\(p=p\times \frac{r_2-r_1}{\gcd},q=q\times \frac{r_2-r_1}{\gcd}\)。

• 其通解：\(P=p+\frac{m_2}{\gcd}\times k, Q=q-\frac{m_1}{\gcd}\times k\)。

• 所以：\(x=m_1 P + r_1 = \frac{m_1 m_2}{\gcd} \times k +m_1 p+r_1\)

离散与组合数学

组合数求解

1. 加法原理和乘法原理

• 加法原理：设集合 \(S\) 划分为部分 \(S_1,S_2,\cdots,S_m\)，则 \(S\) 的元素个数可以通过每一部分的个数来确定，即 \(|S|=|S_1|+|S_2|+\cdots+|S_m|\)。
• 乘法原理：令 \(S\) 是元素的序偶 \((a,b)\) 的集合

2. 排列

• 不可重复排列（从 \(n\) 个不同的物品中不重复的取出 \(r\) 个），排列数为：

\[P_n^r = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!} \]

• 可重复排列（从 \(n\) 个不同的物品中可重复的取出 \(r\) 个），排列数为：\(n^r\)。

• 圆排列（从 \(n\) 个元素中选 \(r\) 个圆排列），排列数为：\(\Large \frac{P^r_n}{r}=\frac{n!}{r(n-r)!}\)

3. 组合

• 如果 \(S\) 中的元素都不相同，组合数：

\[C^r_n =\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix} = \frac{P_n^r}{r!} = \frac{n!}{r!\cdot (n-r)!} \]

4. 组合数的性质

1. \(C^r_n=C^{n-r}_n\)；
2. \(C^r_n=C^r_{n-1}+C^{r-1}_{n-1}\)；
3. \(C^0_n+C^1_n+C^2_n+ \cdots +C^n_n = 2^n\)；

5. 多重集合的排列和组合

\(S\) 中的元素可以相同，称多重集，如：\(S=\{5\times a,7\times b,4\times c\}\)。

1. 无限多重集的排列
   • \(S\) 是一个多重集，它有 \(k\) 个不同的元素，每个元素都有无穷重复个数，\(S\) 的 \(r\) 排列个数为 \(k^r\)。
2. 有限多重集的排列
   • \(S\) 是一个多重集，它有 \(k\) 个不同的元素，每个元素的重数分别为 \(n_1, n_2, \cdots, n_k\)，\(S\) 的大小是 \(n = n_1+ n_2 + \cdots + n_k\)，则 \(S\) 的 \(n\) 排列个数为：\(\large \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}\)
3. 有限多重集的组合
   • \(S\) 是一个多重集，它有 \(k\) 个不同的元素，每个元素都有无穷重复个数，那么 \(S\) 的 \(r\) 组合的个数为：

\[C^{r}_{r+k-1}=\begin{pmatrix} r+k-1\\ r \end{pmatrix}=C^{k-1}_{r+k-1}=\begin{pmatrix} r+k-1\\ k-1 \end{pmatrix} \]

6. 杨辉三角计算公式

• 组合公式 \(C_n^r=\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix} = \frac{n!}{r!\cdot (n-r)!}\)，把 \(C_n^r\) 称为二项式系数。杨辉三角是二项式系数的典型应用。

• 杨辉三角可以用 \((x+1)^n\) 来定义和计算。

7. 二项式定理

• 组合公式 \(C^r_n =\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix} = \frac{n!}{r!\cdot (n-r)!}\)，就是 \((x+1)^n\) 展开后第 \(r\) 项的系数。

\[(x+1)^n=\sum_{r=0}^{n} C^r_n x^r \]

• 推导得到二项式定理：

\[(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} C_n^r a^r b^{n-r} = \sum_{r=0}^{n} C_n^r b^r a^{n-r} \]

• 二项式系数的两种计算方法：
  1. 递推公式：\(C_n^r = C_{n-1}^r + C_{n-1}^{r-1}\)；
  2. 用逆直接计算：
  \[C_n^r \mod m = \frac{n!}{r! (n-r)!} \mod m = (n! \mod m)[(r!)^{-1} \mod m]\{[(n-r)!]^{-1} \mod m\} \mod m \]

8. 卢卡斯定理

• 对于非负整数 \(n\)、\(r\) 和素数 \(m\)，有：

\[C_n^r \equiv \prod_{i=0}^{k} C_{n_i}^{r_i} (\text{mod}\space m) \]

\[C_n^r \mod m = C_{n\mod m}^{r\mod m} \times C^{\frac{r}{m}}_{\frac{n}{m}} \mod m \]

9. 鸽巢原理

• 推广：\(k\times n+1\)只鸽子住 \(n\) 个巢里，那么至少有一个巢里有 \(k+1\) 只或更多鸽子。

容斥原理和卡特兰数

1. 容斥原理

• 设 \(A\)、\(B\) 是分别具有性质 \(P_1\) 和 \(P_2\) 的有限集，则有：\(|A\cup B| =|A|+|B|-|A\cap B|\)。

• 【集合的并等于集合的交的交错和】设 \(U\) 中元素有 \(n\) 种不同的属性，那么第 \(i\) 种属性称为 \(P_i\)，拥有属性 \(P_i\) 的元素构成集合 \(S_i\)，那么：

\[\Bigg| \bigcup_{i=1}^{n} S_i \Bigg| = \sum_{m-1}^{n} (-1)^{m-1} \sum_{a_i<a_{i+1}} \Bigg| \bigcap_{i=1}^{m} S_{a_i} \Bigg| \]

• 【集合的交等于全集减去补集的并】设 \(U\) 中元素有 \(n\) 种不同的属性，那么第 \(i\) 种属性称为 \(P_i\)，拥有属性 \(P_i\) 的元素构成集合 \(S_i\)，那么：

\[\Bigg| \bigcap_{i=1}^{n} S_i\Bigg| = |U| - \Bigg| \bigcup_{i=1}^{n} \overline{S_i}\Bigg| \]

2. Catalan 数

• Catalan 数是一个数列，它的一种定义是：

\[C_n = \frac{1}{n+1} \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} , \space n=0,1,2,\cdots \]

• 通项公式：

  1. \(H_n=C^n_{2n}-C^{n-1}_{2n}\)；

  2. \(H_n=\frac{1}{n+1} C^n_{2n}\)；

  3. \(H_n=\frac{4n-2}{n+1} H_{n-1}\)；