ADAM1 - Adrita and Marbles 题解

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题目分析

①圆的方程

题目中给出了一个圆的方程 \(x^2 + y^2 - px-py+z=0\)。

我们可以将其转化为标准圆的方程形式 \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)。

将完成平方后的表达式代入原方程得到 \((x-\frac{p}{2})^2-\frac{p^2}{4}+(y-\frac{q}{2})^2-\frac{q^2}{4}+z=0\)。

合并同类项得到 \((x-\frac{p}{2})^2 + (y-\frac{q}{2})^2 = \frac{p^2+q^2-4z}{4}\)。

最后得到 \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)。

其中

• 圆心为 \((h,k)=(\frac{p}{2},\frac{q}{2})\)。

• 半径的平方 \(r^2=\frac{p^2+q^2-4z}{4}\)。

②判断弹珠圆心是否在桌子上

弹珠的中心坐标为 \((x,y)\)，半径为 \(1\)。根据题目，弹珠在桌子上的条件是：

1. 弹珠的中心到圆心的距离小于或等于圆的半径减去弹珠的半径（即 \(r-1\)）。
2. 题目中说了如果弹珠的中心正好在圆的边界上（距离等于 \(r\)），则认为弹珠在桌子上。

思路实现

这道题只要理解了圆的方程，其实就不难了。只需要按照这个思路编程就可以了：

• 对于每个弹珠，计算其中心到圆心的距离平方。

• 判断该距离平方是否小于或等于 \(r^2\)。

• 统计满足条件的弹珠数量。

最后还要注意最好开个 long long。因为 \(x^2\) 和 \(y^2\) 最大是可以达到 \(10^{10}\) 的。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define fast_running ios::sync_with_stdio(false),std::cin.tie(0),std::cout.tie(0);
using namespace std;

signed main(){
    fast_running;
    int T;
    cin >> T;
    while(T--){
        int p, q, z, n, ans = 0;
        cin >> p >> q >> z;
        cin >> n;
        // 计算圆心 (h, k) 和半径平方 r^2
        int h = p / 2, k = q / 2;
        int r = (p * p + q * q - 4 * z) / 4;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            int x, y;
            cin >> x >> y;
            // 计算弹珠中心到圆心的距离平方
            int dx = x - h, dy = y - k;
            int temp = dx * dx + dy * dy;
            // 判断是否在桌子上
            if(temp <= r) ++ans;
        }
        cout << ans << '\n';
    }
    return 0;
}

完结撒花qwq