BST 基础

观前提示：本文章重在对二叉搜索树的基本定义与性质进行讲解，方便后续各种平衡树的讲解顺利进行。

BST 原理

二叉查找树（Binary Search Tree，BST），又称为二叉搜索树、二叉排序树，是一种对查找和排序都有用的特殊二叉树。
二叉查找树的特性：\(左子树<根<右子树\)，即二叉查找树的中序遍历是一个递增序列。

给你二叉一颗树，树上的节点都有权值，权值总满足：\(左儿子权值<当前权值<右儿子权值\)。这就是二叉搜索树。

因为对所有节点有效，所以显然有：
在 BST 上，以任意结点为根结点的一棵子树，仍然是 BST。

比如：

这就是个 BST。而且它的每个子树都是 BST。

BST 操作

插入

因为二叉查找树的性质，插入的思想很好理解：

因为要满足\(左<中<右\)，我们看当前节点的权值，如果当前节点大于插入值，说明是插入一个小值，小的应在左边，所以我们访问左儿子继续查。反之，如果当前节点小于插入值，则访问右儿子。如果你发现你当前访问的节点不存在，你就新建这个节点，然后就完成了插入。

因为是二叉树，树的高度不超过 \(\log_{2} N\) 层，因此插入操作平均时间复杂度为 \(O(\log N)\)。

查询

你连插入都会了，自然就会查询。只需将新建操作改为查询即可。如果查询到了不存在节点，就说明没有这个数。时间复杂度与插入一样。

删除

先根据查询方式找到要删的数，
可分为3种情况：

1. 左子树为空：令其右子树子承父业代替其位置。
2. 右子树为空：令其左子树子承父业代替其位置。
3. 左子树和右子树均不空：令其直接前驱（或直接后继）代替其位置，然后删除其直接前驱（或直接后继）。
4. 叶子节点：直接删了完事。

什么是直接前驱？就是比当前权值小的权值中最大的。什么是直接后继？就是比当前权值大的权值中最小的。

如图：

B 是 A 的直接前驱，C 是 A 的直接后继。

怎么删？还是如图：

时间复杂度：就是先查一次删除的数，再查一次直接前驱，（或直接后继），然后再根据拿去替换前驱找前驱的前驱……直到找到树的底部，平均 \(O(\log N)\)。

::::info[如何简单删除]
这个删除也太麻烦了，居然要写递归，我们可以换个思路：删除时，不真的删除，而是用标记来表示。我们常规操作时就假装它还活着就行，只需要查询时的判断中多判断一下存不存在就好了，正确性也可以保证。

Q：你这样不会浪费空间吗？

A：会，但不会超。这种标记删除的特点就是：假删，删除不会减少空间占用。但对于一道题，它的查询操作数一般在 \(10^6\) 到 \(10^7\) 之间（一般是 \(10^6\)），就算全是插入，也不会爆空间。

Q：多了许多“不存在的节点”，不会 TLE 吗？

A：确实可能降低效率，但就像空间一样，因为节点数不超过操作数 \(M\)，所以树的高度不会超过 \(\log_{2} M\)，查询等操作的时间就基本上是 \(O(\log M)\)，这要也能超就重开吧。

而且，这个操作实用性还挺广，即使是 AVL，红黑树之类的也可以这么搞（除非你追求效率），理念很简单：就假装所有删除的节点还在，一般操作把这些点都算上，只要查询特判就行。

那么他什么情况下不适应呢？比如有变态开高了时间限制，提高了操作数，就可能 MLE。目前我们应该相信 CCF 是不会这么变态的。
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创建

就是从空树开始，一个个插入。

需要注意的是，因为各种各样的原因空间和后续操作的影响，BST 基本上是动态开点。我们可以用一个随便哪个数据结构保存可以使用的节点编号（就是树中不存在的节点编号），新建时把随便一个编号弹出并初始化节点，删除就把那个节点编号丢进数据结构里，因为节点编号可以乱赋跟 BST 性质没有关系。

总结

BST 是个好东西。

这个时候就有大神犇要问了：这不是很容易逝吗，如果建树时发现建出来或删除后是条链怎么办？

如果是链，就有整整节点数的层数，时间原地起飞，这就是为什么我写了这么多理论而没贴代码。正常情况下，没人会写这么朴素的 BST 去做题的（太好卡了）。

在接下来的四组讲解中，主要内容就是 BST 算法。什么是 BST 算法？就是用各种方法，使我们建出来的 BST 尽量维持在 \(\log_{2} N\) 层，让对应的 BST 更平衡，也就是我们常说的平衡树了。