数据结构：根号

\(O(\sqrt{N})\) 或 \(O(\sqrt{N} \log n)\) 数据结构往往能为一些 \(O(\mathrm{polylog})\) 难以维护的操作。

分块基础

P13979 数列分块入门 4

给出一个长为 \(n\) 的数列，以及 \(n\) 个操作，操作涉及区间加法，区间求和。

解法

线段树/树状数组：\(O(\log n)\)~\(O(\log n)\)
而分块可以做到：\(O(\sqrt{n})\)~\(O(1)\) 或 \(O(1)\)~\(O(\sqrt{n})\)，常在修改操作次数和询问操作次数不平衡时使用，常见于莫队之中。

分块的思路：将序列分为 \(\sqrt{n}\) 个大块，每个大块内有 \(\sqrt{n}\) 个元素。两层数据结构。（区别于于线段树的 \(O(\log n)\) 层）。
![[70326cd9-6d14-42c7-9e7b-7c0a95a7c090.png]]
这样的话，一个区间最多涉及到 \(\sqrt{n}\) 大块，以及 \(O(\sqrt{n})\) 个散点元素（在左右的两个散块之中）。
下文中 \(l_x,r_x\) 分别表示第 \(x\) 个块的左端点和右端点，\(bel_i\) 表示下标为 \(i\) 的元素所在的块。

\(O(\sqrt{n})\)~\(O(\sqrt{n})\)：修改整块的 \(tag\)，将两个散块将 \(tag\) 下放并暴力修改散点元素。

\(O(\sqrt{n})\)~\(O(1)\)：
首先将询问改成询问两次前缀和并差分。
考虑维护 \(Sum_i\) 表示前 \(i\) 个大块的前缀和，以及 \(sum_i\) 表示 \([l_{bel_i},i]\) 的前缀和。询问 \([1,i]\) 的前缀和即为 \(Sum_{bel_i -1} + sum_i\)。
考虑修改对 \(Sum\) 和 \(sum\) 数组的影响。其中 \(Sum\) 数组可以直接暴力枚举并修改，而修改对整块的 \(sum\) 数组的影响可以直接打 \(tag\)，散块则可以暴力修改。
当然，询问 \([1,i]\) 的前缀和的值会变成 \(Sum_{bei_i - 1} + sum_i + tag_{bel_i} \cdot (i - l_{bei_i} + 1)\)。

\(O(1)\)~\(O(\sqrt{n})\)：
类似上文，自行思考。

一些讲的比较好的博客：
分块（块状数组）（从入门到出门右拐） - 知乎

类线段树操作

由于分块可以视作只有两层的线段树，所以在线段树上常用的技巧也是可以在分块上用的。

P13982 数列分块入门 7

给出一个长为 \(n\) 的数列，以及 \(n\) 个操作，操作涉及区间乘法，区间加法，单点询问。

解法：

类似线段树地，可以对每个块打两个 \(tagadd_i\) 以及 \(tagmut_i\)。加法操作整块时会修改 \(tagadd_i\)，乘法操作修改整块时会修改 \(tagmut_i\)。单次修改和询问时间复杂度均为 \(O(\sqrt{n})\)。

定期重构动态数组

P13981 数列分块入门 6

题目背景

洛谷的数列分块入门系列的测试数据范围和原题有不同。

题目描述

给出一个长为 \(n\) 的数列，以及 \(n\) 个操作，操作涉及单点插入，单点询问。测试数据随机生成，方式见数据范围限制。

输入格式

第一行输入一个数字 \(n\)。

第二行输入 \(n\) 个数字，第 \(i\) 个数字为 \(a_i\)，以空格隔开。

接下来输入 \(n\) 行询问，每行先输入 \(1\) 个数字 \(\mathrm{opt}\)，以空格隔开。

若 \(\mathrm{opt} = 0\)，则在这一行继续输入 \(2\) 个数字 \(l, r\)，表示在第 \(l\) 个数字前插入数字 \(r\)。

若 \(\mathrm{opt} = 1\)，则在这一行继续输入 \(1\) 个数 \(c\)，表示询问 \(a_c\) 的值。

输出格式

对于每次询问，输出一行一个数字表示答案。

解法

其实解法可以不依赖于随机。

在随机数据下，我们直接将插入的元素加入到对应块即可。可以利用 vector 维护每个块，然后直接 \(O(B)\) 插入（\(B\) 是插入块的大小）。由于随机数据下接近均匀随机，所以单次修改和询问时间复杂度期望为 \(O(\sqrt{n})\)。

在数据非随机的情况下，可以考虑每插入 \(\sqrt{q}\) 次，则进行一次重构。这样总共只会重构 \(\sqrt{q}\) 次，单次重构时间复杂度为 \(O(n+q)\)。而单次操作插入的时间复杂度为 \(O(\sqrt{n} + \sqrt{q})\)。

总时间复杂度即为：\(O((n+q)(\sqrt{n}+\sqrt{q}))\)。

时间复杂度平衡

P13977 数列分块入门 2

题目背景

洛谷的数列分块入门系列的测试数据范围和原题有不同。

题目描述

给出一个长为 \(n\) 的数列，以及 \(n\) 个操作，操作涉及区间加法，询问区间内小于某个值 \(x\) 的元素个数。

输入格式

第一行输入一个数字 \(n\)。

第二行输入 \(n\) 个数字，第 \(i\) 个数字为 \(a_i\)，以空格隔开。

接下来输入 \(n\) 行询问，每行输入四个数字 \(\mathrm{opt}\)、\(l\)、\(r\)、\(c\)，以空格隔开。

若 \(\mathrm{opt} = 0\)，表示将位于 \([l, r]\) 的之间的数字都加 \(c\)。

若 \(\mathrm{opt} = 1\)，表示询问 \([l, r]\) 中，小于 \(x=c^2\) 的数字的个数。

解法

已经超越 polylog 数据结构能维护的范围。

询问：散块直接查询。对于整块，我们需要维护出块内元素排序后的数组，并在该数组上二分即可。时间复杂度 \(O(\sqrt{n} \log n)\)
修改：散块推平 \(tag\) 并暴力修改元素，再重新对该块排序。整块直接修改 \(tag\) 即可。时间复杂度 \(O(\sqrt{n} \log n)\)。

注意到修改散块的时间复杂度为 \(O(\sqrt{n} \log n)\)，修改整块的时间复杂度为 \(O(\sqrt{n})\)，我们可以考虑平衡这两个部分的时间复杂度。

不妨考虑得更加细致。假设每段块长为 \(B\)，则修改散块的时间复杂度为 \(O(B \log B)\)，而修改整块的时间复杂度为 \(O(n/B)\)。

不难发现，在 \(B=\sqrt{n/ \log n}\) 时两者取得平衡，单次修改/查询的总时间复杂度即为 \(O(n \sqrt{n \log n})\)。

类似的题目：

• 洛谷 P3863

莫队 + 分块

P4396 [AHOI2013] 作业

题目描述

此时己是凌晨两点，刚刚做了 Codeforces 的小 A 掏出了英语试卷。英语作业其实不算多，一个小时刚好可以做完。然后是一个小时可以做完的数学作业，接下来是分别都是一个小时可以做完的化学，物理，语文……小 A 压力巨大。

这时小 A 碰见了一道非常恶心的数学题，给定了一个长度为 \(n\) 的数列和若干个询问，每个询问是关于数列的区间表示数列的第 \(l\) 个数到第 \(r\) 个数)，首先你要统计该区间内大于等于 \(a\)，小于等于 \(b\) 的数的个数，其次是所有大于等于 \(a\)，小于等于 \(b\) 的，且在该区间中出现过的数值的个数。

小 A 望着那数万的数据规模几乎绝望，只能向大神您求救，请您帮帮他吧。

输入格式

第一行两个整数 \(n,m\)

接下来 \(n\) 个不超过 \(10^5\) 的正整数表示数列

接下来 \(m\) 行，每行四个整数 \(l,r,a,b\)，具体含义参见题意。

解法

本质上是一个静态离线三维数点/动态离线二维数点，故可以使用 CDQ 分治/树套树解决。

考虑莫队做法，我们需要在莫队的中途维护一个树状数组。时间复杂度为 \(O(m\sqrt{n} \log n)\)。

考虑如何把 \(\log n\) 去掉。由于本质上会有 \(O(m\sqrt{n})\) 修改，但只有 \(O(m)\) 次查询。这提示我们可以使用 \(O(1)\)~\(O(\sqrt{n})\) 的分块来维护该一维区间问题而非树状数组。总时间复杂度即可优化为 \(O(m \sqrt{n})\)。

区间众数

经典分块题目，可以感受到分块数据结构的魅力。

P13984 数列分块入门 9

题目背景

洛谷的数列分块入门系列的测试数据范围和原题有不同。

题目描述

给出一个长为 \(n\) 的数列，以及 \(n\) 个操作，操作涉及询问区间的最小众数。

输入格式

第一行输入一个数字 \(n\)。

第二行输入 \(n\) 个数字，第 \(i\) 个数字为 \(a_i\)，以空格隔开。

接下来输入 \(n\) 行询问，每行输入两个数字 \(l\)、\(r\)，以空格隔开。

表示查询位于 \([l,r]\) 的数字的众数。

解法

首先对数组离散化。

考虑如何为区间内 \(x\) 出现的次数。可以维护 \(S_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个块 \(j\) 的出现次数。这样就可以 \(O(1)\) 查询连续整块中 \(x\) 的出现次数。

不难发现，如果我们提前预处理每个整块的众数，那么 \([l,r]\) 的众数要么在散块内出现，要么是某个整块的众数。这样我们就只有 \(O(\sqrt{n})\) 众数的候选人，对每个候选人都可以均摊 \(O(1)\) 求出它出现的次数。

单次询问时间复杂度 \(O(\sqrt{n})\)，总时间复杂度 \(O(q\sqrt{n})\)，空间复杂度 \(O(n\sqrt{n})\)。

分块的题目会比 polylog 数据结构多变很多，以下是一些题目推荐：

• CodeChef FNCS
• 洛谷 P3203
• 洛谷 P4117
• 洛谷 P6774

树分块

没啥用。
可以看看 树分块 - OI Wiki 或者下发的 slide。

带修莫队（三维莫队）

本质上是将二维上的莫队转化为了三维莫队。
可以参见 带修改莫队 - OI Wiki。

P1903 【模板】带修莫队 / [国家集训队] 数颜色 / 维护队列

墨墨购买了一套 \(N\) 支彩色画笔（其中有些颜色可能相同），摆成一排，你需要回答墨墨的提问。墨墨会向你发布如下指令：

1. \(Q\ L\ R\) 代表询问你从第 \(L\) 支画笔到第 \(R\) 支画笔中共有几种不同颜色的画笔。

2. \(R\ P\ C\) 把第 \(P\) 支画笔替换为颜色 \(C\)。

为了满足墨墨的要求，你知道你需要干什么了吗？

解法

莫队本质上是在一个二维平面上有 \(n\) 个点 \((x_1,y_1), \ldots (x_n,y_n)\)，我们每次能走到离当前点曼哈顿距离为 \(1\) 的点，希望能花尽量少的步数经过少的点。

莫队证明了存在构造方法使得步数不超过 \(O(n\sqrt{n})\) （假设 \(1 \leq x_i,y_i \leq n\)），即单块内 \(x\) 坐标改变不超过 \(\sqrt{n}\)，\(y\) 坐标递增，总共有 \(\sqrt{n}\) 个块。

而带修莫队引入了第三维时刻 \(t\)，则由二维平面变成了三维空间。

而三维空间的构造类似：将坐标分成 \(n^{1/3}\) 块，单次 \(x,y\) 的变化不会超过 \(n^{2/3}\)，总共有 \(n^{1/3} \cdot n^{1/3} = n^{2/3}\) 块。总时间复杂度为 \(O(n^{5/3})\)。

不难发现在 \(k\) 维下莫队的时间复杂度为 \(O(n^{2-1/k})\)，与 kD-Tree 类似，实际也只在 \(k \leq 3\) 时有意义。

回滚莫队 & 二次莫队离线

来不及备课了，自学一下吧（或者晚点讲）。