斐波那契数列

目录

• 1 斐波那契数列的基本定义
• 2 通项公式：比内公式
• 3 核心性质
• 4 典型例题与解答
  • 题型1：基础递推计算
  • 题型2：应用建模（爬楼梯问题）
  • 题型3：数学证明
  • 题型4：算法实现（迭代法）

1 斐波那契数列的基本定义

斐波那契数列（Fibonacci Sequence）由意大利数学家列昂纳多·斐波那契在1202年研究兔子繁殖问题时提出，核心是递推关系，有两种常见起始定义：

1.1 标准定义（含0项）：

• 第0项：$ F(0) = 0 $
• 第1项：$ F(1) = 1 $
• 递推公式（$ n \geq 2 \(）：\) F(n) = F(n-1) + F(n-2) $
• 数列前几项：$ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \dots $

1.2 简化定义（不含0项）：

• 第1项：$ F(1) = 1 $
• 第2项：$ F(2) = 1 $
• 递推公式（$ n \geq 3 \(）：\) F(n) = F(n-1) + F(n-2) $
• 数列前几项：$ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \dots $

2 通项公式：比内公式

通过特征方程法可推导斐波那契数列的通项公式（比内公式）：
[
F(n) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right]
]
其中 $ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618 \(（黄金分割比），\) \psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.618 $（黄金共轭比）。

3 核心性质

1. 极限与黄金分割比：$ \lim_{n \to \infty} \frac{F(n+1)}{F(n)} = \phi $，即相邻项比值趋近黄金分割比。
2. 前n项和公式：$ \sum_{k=0}^n F(k) = F(n+2) - 1 $（前n项和等于第n+2项减1）。
3. 奇偶项拆分：
   • 奇数项：$ F(2n-1) = F(n)^2 + F(n-1)^2 $
   • 偶数项：$ F(2n) = F(n+1)^2 - F(n-1)^2 $
4. 整除性与最大公约数：
   • 若 $ m \mid n $，则 $ F(m) \mid F(n) $；
   • $ \gcd(F(m), F(n)) = F(\gcd(m, n)) $（两项的最大公约数等于下标最大公约数的斐波那契数）。
5. 矩阵表示：$ \begin{pmatrix} F(n+1) & F(n) \ F(n) & F(n-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}^n $，可用于快速幂计算。

4 典型例题与解答

题型1：基础递推计算

例1：标准定义下求 $ F(10) $。
解答：逐项递推得 $ F(10)=55 \(（过程：\) F(2)=1, F(3)=2, \dots, F(10)=34+21=55 $）。

题型2：应用建模（爬楼梯问题）

例2：楼梯有n阶，每次爬1或2阶，求爬到第n阶的爬法数。
建模：设爬法数为 $ F(n) $，最后一步若爬1阶则前n-1阶有 $ F(n-1) $种，若爬2阶则前n-2阶有 $ F(n-2) $种，故 $ F(n)=F(n-1)+F(n-2) $，初始条件 $ F(1)=1, F(2)=2 $，对应斐波那契数列偏移1项。
例：n=5时，爬法数为8。

题型3：数学证明

例3：证明前n项和公式 $ \sum_{k=0}^n F(k) = F(n+2) - 1 $。
证明：数学归纳法：

• 基例：n=0时，左边=0，右边=F(2)-1=0，成立；
• 归纳假设：假设n=k时成立，即 $ \sum_{i=0}^k F(i)=F(k+2)-1 $；
• 归纳步骤：n=k+1时，$ \sum_{i=0}^{k+1} F(i)=F(k+2)-1 + F(k+1)=F(k+3)-1 $，成立。

题型4：算法实现（迭代法）

例4：用迭代法求 $ F(n) $（时间复杂度O(n)）。
Python代码：

def fib_iterative(n):
    if n == 0:
        return 0
    a, b = 0, 1
    for _ in range(2, n+1):
        a, b = b, a + b
    return b