等和数列 全面详解与典型例题

1 核心定义

1.1 标准定义

在一个数列中，从第二项起，每一项与它前一项的和都等于同一个常数，这个数列就叫做等和数列，这个固定常数称为该数列的公和，通常用字母\(C\)表示。

1.2 数学定义式

对于数列\(\{a_n\}\)，若对任意的正整数\(n\geq2\)，恒有：

\[\boldsymbol{a_n + a_{n-1} = C \quad (C为常数)} \]

则称\(\{a_n\}\)为等和数列，\(C\)为公和。
等价递推式：\(a_{n+1} = C - a_n\)（\(n\in N^*\)），是后续推导的核心依据。

2 核心公式

2.1 通项公式

等和数列是周期为2的周期数列，奇数项全部相等，偶数项全部相等，因此通项公式分为分段形式和统一形式。

（1）分段形式（最直观，优先使用）

\[a_n= \begin{cases} a_1, & n为正奇数 \\ C - a_1, & n为正偶数 \end{cases} \]

• 所有奇数项：\(a_1=a_3=a_5=\dots=a_{2k-1}=\dots\)
• 所有偶数项：\(a_2=a_4=a_6=\dots=a_{2k}=\dots\)

（2）统一形式（用\((-1)\)的幂次实现奇偶统一）

\[\boldsymbol{a_n = \frac{C}{2} + (-1)^{n+1} \cdot \left(a_1 - \frac{C}{2}\right)} \]

• 推导验证：\(n=1\)时，\((-1)^2=1\)，\(a_1=\frac{C}{2} + a_1 - \frac{C}{2}\)，成立；\(n=2\)时，\((-1)^3=-1\)，\(a_2=\frac{C}{2} - (a_1 - \frac{C}{2})=C-a_1\)，成立。

2.2 前\(n\)项和公式\(S_n\)

等和数列每2项为一个完整周期，单周期和为\(C\)，因此前\(n\)项和需按\(n\)的奇偶性分段：

\(n\)的奇偶性	前\(n\)项和公式	推导说明
偶数（\(n=2k\)，\(k\in N^*\)）	\(\boldsymbol{S_n = \frac{n}{2} \cdot C}\)	恰好包含\(k\)个完整周期，总和为\(k\cdot C\)
奇数（\(n=2k-1\)，\(k\in N^*\)）	\(\boldsymbol{S_n = \frac{n-1}{2} \cdot C + a_1}\)	包含\(k-1\)个完整周期，加最后1个奇数项\(a_1\)

3 核心性质

3.1 周期性
等和数列是周期为2的周期数列，即对任意\(n\in N^*\)，恒有\(a_{n+2}=a_n\)。
证明：由\(a_{n+1}+a_n=C\)、\(a_n+a_{n-1}=C\)，两式相减得\(a_{n+1}-a_{n-1}=0\)，即\(a_{n+1}=a_{n-1}\)，替换下标得\(a_{n+2}=a_n\)。

3.2 项的取值特征
等和数列最多只有2个不同的取值，奇数项恒等于首项\(a_1\)，偶数项恒等于\(C-a_1\)，其奇数项子数列、偶数项子数列均为常数列。

3.3 常数列特例
当\(a_1 = \frac{C}{2}\)时，\(a_n = \frac{C}{2}\)对所有\(n\in N^*\)成立，此时等和数列为常数列，同时也是公差为0的等差数列、公比为1的等比数列（非零）。

3.4 特殊交集数列
公比\(q=-1\)的等比数列（如\(1,-1,1,-1\dots\)），同时也是等和数列（公和\(C=0\)），是等和数列与等比数列的唯一非平凡交集。

4 等和数列的分类

类型	满足条件	数列特征	示例
摆动型等和数列	\(a_1 \neq \frac{C}{2}\)	数列在\(a_1\)和\(C-a_1\)两个值之间交替摆动，周期为2	\(1,3,1,3,1,3\dots\)（\(C=4\)，\(a_1=1\)）
常值型等和数列	\(a_1 = \frac{C}{2}\)	所有项完全相等，无摆动，周期为1	\(2,2,2,2,2,2\dots\)（\(C=4\)，\(a_1=2\)）

5 易错点辨析

1. 定义混淆：等和数列的核心是相邻两项的和为常数，而非任意两项的和为常数。例如\(1,3,1,3\)中，相邻和为4，但\(1+1=2\neq4\)，仍符合等和数列定义。
2. 忽略奇偶分类：求通项、前\(n\)项和时，必须按\(n\)的奇偶性分段，直接套用单一公式必然出错。
3. 否定常数列特例：常数列一定是等和数列（公和为\(2a_1\)），并非只有摆动数列才是等和数列。
4. 广义等和数列周期误判：若\(a_{n+k}+a_n=C\)（\(k\)为固定正整数），数列周期为\(2k\)，而非\(k\)。例如\(a_{n+2}+a_n=C\)，周期为4，不是2。

6 与等差数列、等比数列的核心对比

数列类型	核心定义	核心特征	通项核心	周期性质
等和数列	\(a_n + a_{n-1}=C\)（\(n\geq2\)）	相邻和为常数，最多2个不同值	分段奇偶，周期2	非常数列周期\(T=2\)
等差数列	\(a_n - a_{n-1}=d\)（\(n\geq2\)）	相邻差为常数，单调/常数列	线性表达式\(a_1+(n-1)d\)	仅常数列有周期（\(T=1\)）
等比数列	\(a_n / a_{n-1}=q\)（\(n\geq2\)，\(a_n\neq0\)）	相邻比为常数，指数变化	指数表达式\(a_1\cdot q^{n-1}\)	仅\(q=\pm1\)有周期

7 典型例题（分梯度，含详细解析）

（一）基础题（定义、公式直接应用）

例题1

已知等和数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1=2\)，公和\(C=5\)，求：
（1）数列的通项公式；
（2）\(a_{2025}\)、\(a_{2026}\)的值；
（3）前100项和\(S_{100}\)、前101项和\(S_{101}\)。

解析：
（1）根据等和数列通项的分段形式：
当\(n\)为正奇数时，\(a_n=a_1=2\)；
当\(n\)为正偶数时，\(a_n=C-a_1=5-2=3\)。
统一形式：\(a_n=\frac{5}{2} + (-1)^{n+1}\cdot(2-\frac{5}{2})=2.5 + (-1)^n\cdot0.5\)。

（2）\(2025\)为奇数，故\(a_{2025}=2\)；\(2026\)为偶数，故\(a_{2026}=3\)。

（3）\(100\)为偶数，\(S_{100}=\frac{100}{2}\times5=250\)；
\(101\)为奇数，\(S_{101}=\frac{101-1}{2}\times5 + 2=250+2=252\)。

考点：等和数列的定义、通项公式、前\(n\)项和公式的基础应用。

例题2

判断下列数列是否为等和数列，若是，写出公和\(C\)。
（1）\(3,-3,3,-3,3,-3\dots\)
（2）\(2,2,2,2,2\dots\)
（3）\(1,2,3,4,5\dots\)
（4）\(1,0,1,0,1,0\dots\)

解析：
（1）相邻两项和均为\(3+(-3)=0\)，是等和数列，公和\(C=0\)；
（2）相邻两项和均为\(2+2=4\)，是等和数列（常数列特例），公和\(C=4\)；
（3）相邻两项和依次为\(3,5,7,9\)，不是固定常数，不是等和数列；
（4）相邻两项和均为\(1+0=1\)，是等和数列，公和\(C=1\)。

考点：等和数列的定义判定，常数列特例的理解。

（二）中档题（性质、递推综合应用）

例题3

已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，且\(a_{n+1}+a_n=4\)，求：
（1）数列的通项公式；
（2）前\(n\)项和\(S_n\)的表达式；
（3）\(S_n>100\)的最小正整数\(n\)。

解析：
（1）由递推式可知，数列为公和\(C=4\)的等和数列，首项\(a_1=1\)，因此通项为：

\[a_n= \begin{cases} 1, & n为正奇数 \\ 3, & n为正偶数 \end{cases} \]

（2）前\(n\)项和分奇偶分段：

• 当\(n\)为偶数时，\(S_n=\frac{n}{2}\times4=2n\)；
• 当\(n\)为奇数时，\(S_n=\frac{n-1}{2}\times4 +1=2n-1\)。
  即

\[S_n= \begin{cases} 2n, & n为正偶数 \\ 2n-1, & n为正奇数 \end{cases} \]

（3）分情况解不等式：

• 当\(n\)为偶数时，\(2n>100 \implies n>50\)，最小偶数为\(52\)；
• 当\(n\)为奇数时，\(2n-1>100 \implies n>50.5\)，最小奇数为\(51\)。
  综上，满足\(S_n>100\)的最小正整数\(n=51\)。

考点：等和数列的递推转化、前\(n\)项和分段求解、不等式分类讨论。

例题4

已知等和数列\(\{a_n\}\)中，\(a_2=6\)，公和\(C=10\)，求\(a_1\)、\(a_{2024}\)的值，以及前2024项中奇数项的和与偶数项的和。

解析：
由等和数列定义，\(a_1+a_2=C=10\)，已知\(a_2=6\)，得\(a_1=10-6=4\)。
等和数列奇数项恒等于\(a_1=4\)，偶数项恒等于\(a_2=6\)。
\(2024\)为偶数，故\(a_{2024}=6\)。
前2024项中，奇数项、偶数项各有\(2024\div2=1012\)个：

• 奇数项和：\(1012\times4=4048\)；
• 偶数项和：\(1012\times6=6072\)。

考点：等和数列的奇偶项性质，前\(n\)项和的拆分计算。

（三）拔高题（广义等和数列、综合构造）

例题5

已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_2=2\)，且\(a_{n+2}+a_n=3\)（\(n\in N^*\)），求数列的通项公式与前100项和\(S_{100}\)。

解析：
该数列为广义等和数列，递推式为\(a_{n+2}=3-a_n\)，推导周期：
\(a_{n+4}=3-a_{n+2}=3-(3-a_n)=a_n\)，因此数列周期\(T=4\)。
写出前几项找规律：\(a_1=1\)，\(a_2=2\)，\(a_3=3-a_1=2\)，\(a_4=3-a_2=1\)，\(a_5=3-a_3=1=a_1\)，周期内项为\(1,2,2,1\)，单周期和为\(1+2+2+1=6\)。

（1）通项公式（按\(n\)除以4的余数分段）：

\[a_n= \begin{cases} 1, & n=4k-3 \ (k\in N^*) \\ 2, & n=4k-2 \ (k\in N^*) \\ 2, & n=4k-1 \ (k\in N^*) \\ 1, & n=4k \ (k\in N^*) \end{cases} \]

（2）前100项和：\(100\div4=25\)，恰好25个完整周期，故\(S_{100}=25\times6=150\)。

考点：广义等和数列的周期推导、周期数列的通项与求和。

例题6

已知等和数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1=3\)，公和\(C=7\)，数列\(\{b_n\}\)满足\(b_n=a_n\cdot a_{n+1}\)，求\(\{b_n\}\)的通项公式与前\(n\)项和\(T_n\)。

解析：
第一步，先求\(\{a_n\}\)的通项：
公和\(C=7\)，首项\(a_1=3\)，故\(n\)为奇数时\(a_n=3\)，\(n\)为偶数时\(a_n=7-3=4\)。

第二步，求\(b_n=a_n\cdot a_{n+1}\)，分奇偶验证：

• 当\(n\)为奇数时，\(n+1\)为偶数，\(b_n=3\times4=12\)；
• 当\(n\)为偶数时，\(n+1\)为奇数，\(b_n=4\times3=12\)。
  因此，\(\{b_n\}\)是恒为12的常数列，通项公式为\(b_n=12\)（\(n\in N^*\)）。

第三步，前\(n\)项和：常数列求和\(T_n=12n\)。

考点：等和数列的通项应用、新数列构造、常数列的判定与求和。

（四）易错题辨析

例题7

已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=2\)，\(a_n+a_{n+1}=5\)（\(n\in N^*\)），有同学写出通项公式\(a_n=2+(n-1)\times0=2\)，请问是否正确？说明理由。

解析：
该通项公式错误。
错误原因：该同学误将等和数列当成常数列，忽略了等和数列的奇偶项差异。
等和数列公和\(C=5\)，\(\frac{C}{2}=2.5\)，首项\(a_1=2\neq2.5\)，因此数列为摆动型等和数列，奇数项为2，偶数项为\(5-2=3\)，并非所有项都是2，通项必须按奇偶分段，不能写成常数列形式。

考点：等和数列的易错点，常数列的成立条件。