Day12.1（卷积）

拉格朗日插值 

模板   https://www.luogu.org/problemnew/show/P4781

 

洛谷P4593 [TJOI2018]教科书般的亵渎

BZOJ3453: tyvj 1858 XLkxc

BZOJ4559: [JLoi2016]成绩比较

BZOJ2655: calc

 

离散傅里叶变换（DFT）

快速傅里叶变换（FFT）

https://blog.csdn.net/ggn_2015/article/details/68922404

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2097156;//2097152
struct cp{
    double r,i;
}w[maxn],a[maxn],b[maxn];
inline cp operator + (const cp &x,const cp &y){
    return (cp){x.r+y.r,x.i+y.i};
}
inline cp operator - (const cp &x,const cp &y){
    return (cp){x.r-y.r,x.i-y.i};
}
inline cp operator * (const cp &x,const cp &y){
    return (cp){x.r*y.r-x.i*y.i,x.r*y.i+x.i*y.r};
}
int N,rev[maxn];
const double pi=acos(-1);
inline void init(int n){
    int bit=0;
    for(N=1;N<=n;N<<=1) bit++;
    for(int i=0;i<N;i++) w[i]=(cp){cos(2*pi*i/N),sin(2*pi*i/N)};
    for(int i=0;i<(1<<bit);i++)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
}
inline void fft(cp *x,int v){
    if(v) for(int i=1;i<N;i++) if(i<N-i) swap(x[i],x[N-i]);
    for(int i=0;i<N;++i) if(i<rev[i])swap(x[i],x[rev[i]]);
    for(int i=1;i<N;i<<=1){
        for(int j=0;j<N;j+=i<<1){
            for(int k=0;k<i;++k){
                cp p=w[N/(i<<1)*k]*x[i+j+k];
                x[i+j+k]=x[j+k]-p;x[j+k]=x[j+k]+p;
            }
        }
    }
    if(v)for(int i=0;i<N;++i)x[i].r/=N,x[i].i/=N;
}
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].r);
    for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%lf",&b[i].r);
    init(n+m);
    fft(a,0);fft(b,0);
    for(int i=0;i<N;i++) a[i]=a[i]*b[i];
    fft(a,1);
    for(int i=0;i<=n+m;++i)printf("%d ",(int)(a[i].r+0.5));
}
/*init 把n搞成2的次幂
v=0 fft
v=1 逆变换
(x+1)^2
逆变换单位根反过来，x数组反过来是等价的
 */
    

 

快速数论变换（NTT）

 

NTT的优缺点
优点
能取模，FFT的复数你给我来取个模

没有精度差，FFT浮点数的精度怎么也会出一点问题

由于均为整数操作（虽然取模多），NTT常数小，通常比一大堆浮点运算的FFT要快

 

缺点
多项式的系数都必须是整数

模数有限制，NTT 题的模数通常都是相同的998244353 

其实这些模数的原根通常都是3