完全图树的计数

完全图树的计数

把两年前的东西忘干净了
n 个结点的无向完全图的生成树的个数

• n 个点的有标号无根树的计数：\(n(n-2)\)
• n 个点的有标号有根树的计数：\(n(n-2)\times n=n(n-1)\)
• n 个点的无标号有根树的计数：
  令
  \[S_{n,j}=\sum_{1 \leqslant j \leqslant \frac{n}{j}}a_{n+1-i,j} \]
  则有
  \[S_{n,j}=S_{n-j,j}+a_{n+1-j} \]
  因此我们得到了求\(a_n\)比较理想的递推式：
  \[a_{n+1}=\frac{\displaystyle\sum_{i \leqslant j \leqslant n}ja_j S_{n,j}}{n} \]
  根据这个递推式，我们就可以求出\(A(z)\):
  \[A(z)=z+z^2+2z^3+4z^4+9z^5+20z^6+48z^7+115z^8+286z^9+719z^10+1842z^11+... \]

• n 个点的无标号无根树的计数：
  • 当n是奇数时，无根树共有\(\displaystyle{a_n-\sum_{1 \leqslant i \leqslant \frac{n}{2}}a_i a_{n-i}}\)
  • 当n是偶数时，无根树共有\(\displaystyle{a_n-\sum_{1 \leqslant i \leqslant n}a_i a_{n-i}+\frac{1}{2}a_{\frac{n}{2}}(a_{\frac{n}{2}}+1)}\)