数理统计学习笔记

数理统计学习笔记

√ 1 找一个概率密度函数，求其对应的分布函数，用概率密度空间的思想解释

概率密度函数：

\[f(x)= \begin{cases}\frac{2 x}{\pi^{2}}, & 0<x<\pi \\ 0, & \text { others }\end{cases} \]

当\(x \in(-\infty, 0)\)时，有

\[F(x)=\int_{-\infty}^{x} 0 d x=0 \]

当\(x \in[0, \pi)\)，有

\[F(x)=\int_{-\infty}^{0} 0 d x+\int_{0}^{x} \frac{2 x}{\pi^{2}} d x=\left.\frac{x^{2}}{\pi^{2}}\right|_{0} ^{x}=\frac{x^{2}}{\pi^{2}} \]

当\(x\in[\pi,+\infty)\)时，有

\[F(x)=\int_{-\infty}^00dx+\int_0^\pi{\frac{2x}{\pi^2}}dx+\int_\pi^x0dx=1 \]

故分布函数为

\[F(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\ \frac{x^{2}}{\pi^{2}}, & 0 \leq x<\pi \\ 1, & x \geq \pi\end{cases} \]

√ 2 举例说明随机变量的独立性、收敛性，并验证其收敛性

√ 3 R-S积分与黎曼积分的区别

黎曼－斯蒂尔杰斯积分是黎曼积分的一种推广。

R积分是对坐标轴x进行积分，R-S积分是对函数g(x)进行积分，当g(x)=x时，f(x)在闭区间[a,b]上对函数g(x)的R-S积分

4 举例说明连续型随机变量，并修改其定义，使之成为离散型随机变量

5 概率空间（\(Ω\)，\(F\)，\(P\)），如何理解F是\(\sigma\)-代数？

√ 6 举例说明最大似然函数、对数似然函数

7 如何理解点估计、矩估计、区间估计？

8 写出常用统计量和样本矩的数学表达式

9 如何搜集整理数据

10 如何用Python做统计

如何用Python做统计？

常见的库：

NumPy 支持大量的维度数组与矩阵运算，此外也针对数组运算提供大量的数学函数库，有线性代数、傅里叶变换、随机数生成等功能

NumPy 通常与 SciPy（Scientific Python）和 Matplotlib（绘图库）一起使用。

SciPy 包含的模块有最优化、线性代数、积分、插值、特殊函数、快速傅里叶变换、信号处理和图像处理、常微分方程求解和其他科学与工程中常用的计算。

Pandas可以从各种文件格式比如 CSV、JSON、SQL、Microsoft Excel 导入数据，进行简单的归并、再成形、选择，还有数据清洗。

Matplotlib 是 Python 的绘图库。

我们可以直接

import pandas
classdata = pandas.read_csv("_YOUR_DATAPATH_/classdata.csv")

也可以将包重命名为pd

import pandas as pd 
classdata = pd.read_csv("_YOUR_DATAPATH_/classdata.csv")

一些约定俗成的缩写以及使用

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats 

11 Python常用分布函数的实现

12 Python统计工程案例

烦人的社交，烦人的客套，烦人的人！

读研好像学到了啥，但又没完全学到。