[ZJOI2007]最大半连通子图

题目描述

一个有向图\(G=(V,E)\)称为半连通的（Semi-Connected），如果满足：\(\forall u,v\in V\)，满足\(u\leadsto v\)或\(v\leadsto u\)，即对于图中任意两点\(u\)，\(v\)，存在一条\(u\)到\(v\)的有向路径或者从\(v\)到\(u\)的有向路径。
若\(G'=(V',E')\)满足\(V'\subseteq V\)，\(E'\)是\(E\)中所有跟\(V'\)有关的边，则称\(G'\)是\(G\)的一个导出子图。若\(G'\)是\(G\)的导出子图，且\(G'\)半连通，则称\(G'\)为\(G\)的半连通子图。若\(G'\)是\(G\)所有半连通子图中包含节点数最多的，则称\(G'\)是\(G\)的最大半连通子图。给定一个有向图\(G\)，请求出\(G\)的最大半连通子图拥有的节点数\(K\)，以及不同的最大半连通子图的数目\(C\)。由于\(C\)可能比较大，仅要求输出\(C\)对\(X\)的余数。

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输入格式

第一行包含两个整数\(N\)，\(M\)，\(X\)。\(N\)，\(M\)分别表示图\(G\)的点数与边数，\(X\)的意义如上文所述。
接下来\(M\)行，每行两个整数\(a\)，\(b\)，表示一条有向边\((a,b)\)。图中的每个点将编号为\(1,2,\cdots,N\)，保证输入中同一个\((a,b)\)不会出现两次。

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输出格式

第一行包含一个整数\(K\)。
第二行包含整数\(C\ Mod\ X\)。

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输入输出样例

输入

6 6 20070603
1 2
2 1
1 3
2 4
5 6
6 4

输出

3
3

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说明/提示

对于\(100\%\)的数据，\(N\le 10^5\)，\(M\le 10^6\)，\(X\le 10^8\)。

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强连通分量+动态规划

强连通分量

在有向图\(G\)中，如果两个顶点\(u_i\)，\(u_j\)间有一条从\(u_i\)到\(u_j\)的有向路径，同时还有一条从\(u_j\)到\(u_i\)的有向路径，则称两个顶点强连通（strongly connected）。如果有向图\(G\)的每两个顶点都强连通，称\(G\)是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量（strongly connected components）。
显然，对于任意一个强连通分量\(S\in G\)，它都是一个半连通子图，于是我们可以考虑先缩点。

动态规划

缩点之后，原图变成了一个DAG（有向无环图），显然，对于任意一条DAG中的链，它都是一个半连通子图，所以题目中的\(K\)就是DAG中最大链的顶点个数，\(C\)就是DAG中不同的最大链有多少个。
设\(size(u)\)表示顶点\(u\)代表的强连通分量\(S\)中的顶点个数，\(f(u)\)表示从顶点\(u\)开始延伸的最大链的顶点个数，\(d(u)\)表示从顶点\(u\)开始延伸的不同的最大链有多少个，则有：
\(f(u)=size(u)+max(f(v))\quad(u\to v)\)
\(d(u)=\sum d(v)\quad(u\to v,size(u)+f(v)=f(u))\)
每次从一个没有被访问过的顶点开始做深度优先搜索，回溯时计算每个顶点的\(f\)，\(d\)值。\(K\)，\(C\)也可以按照相同的方式进行更新。

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代码

#include<map>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN=(int)1e5+5,MAXM=(int)1e6+5;
map<int,bool>M[MAXN];
stack<int>S;
int lw[MAXN],siz[MAXN],scc[MAXN],f[MAXN],d[MAXN];
int hed1[MAXN],nxt1[MAXM],to1[MAXM],hed2[MAXN],nxt2[MAXM],to2[MAXM];
bool vis[MAXN];
int x,cnt,tim,scclen,mx,ans;
inline void add1(int a,int b){
	nxt1[++cnt]=hed1[a];
	to1[cnt]=b;
	hed1[a]=cnt;
}
void dfs1(int u){
	int dfn=lw[u]=++tim;
	S.push(u);
	for(register int i=hed1[u];i;i=nxt1[i]){
		if(!lw[to1[i]])
			dfs1(to1[i]);
		if(!scc[to1[i]])
			lw[u]=min(lw[u],lw[to1[i]]);
	}
	if(!(lw[u]^dfn)){
		scclen++;
		while(1){
			int pnt=S.top();
			S.pop();
			siz[scclen]++;
			scc[pnt]=scclen;
			if(!(pnt^u))
				break;
		}
		f[scclen]=siz[scclen];
		d[scclen]=1;
	}
}
inline void add2(int a,int b){
	nxt2[++cnt]=hed2[a];
	to2[cnt]=b;
	hed2[a]=cnt;
}
void dfs2(int u){
	vis[u]=1;
	for(register int i=hed2[u];i;i=nxt2[i]){
		if(!vis[to2[i]])
			dfs2(to2[i]);
		if(f[to2[i]]+siz[u]>f[u]){
			f[u]=f[to2[i]]+siz[u];
			d[u]=d[to2[i]];
		}
		else if(!(f[to2[i]]+siz[u]^f[u]))
			(d[u]+=d[to2[i]])%=x;
	}
	if(f[u]>mx){
		mx=f[u];
		ans=d[u];
	}
	else if(!(f[u]^mx))
		(ans+=d[u])%=x;
}
int main(){
	int n,m;
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&x);
	for(register int i=1;i<=m;i++){
		int a,b;
		scanf("%d%d",&a,&b);
		add1(a,b);
	}
	for(register int i=1;i<=n;i++)
		if(!lw[i])
			dfs1(i);
	cnt=0;
	for(register int i=1;i<=n;i++)
		for(register int j=hed1[i];j;j=nxt1[j])
			if(scc[i]^scc[to1[j]]&&!M[scc[i]][scc[to1[j]]]){
				add2(scc[i],scc[to1[j]]);
				M[scc[i]][scc[to1[j]]]=1;
			}
	for(register int i=1;i<=scclen;i++)
		if(!vis[i])
			dfs2(i);
	printf("%d\n%d\n",mx,ans);
	return 0;
}