斯特林数

给个定义吧：第一类斯特林数 \(n\brack k\) 表示将 \(n\) 个元素分成 \(k\) 个环的方案数，第二类斯特林数 \(n\brace k\) 表示将 \(n\) 个元素分成 \(k\) 个集合的方案数，分别有以下两个递推式

\[{n\brack k}={n-1\brack k-1}+(n-1){n-1\brack k},\ {n\brace k}={n-1\brace k-1}+k{n-1\brace k} \]

然后第二类斯特林数和组合数有如下的关系：

\[{n\brace k}=\frac 1{k!}\sum_{j}(-1)^j\binom kj(k-j)^n \]

以及重要恒等式：

\[x^{\underline{n}}=\sum_{k}{n\brack k}x^k \]

相当于是说，第一类斯特林数 \(n\brack k\) 的生成函数就是 \(x^{\underline{n}}\)

以及斯特林反演：

\[f_n=\sum_{k}{n\brack k}g_k\Leftrightarrow g_n=\sum_{k}(-1)^{n-k}{n\brace k}f_k \]

和等价形式：

\[f_n=\sum_{k}(-1)^k{n\brack k}g_k\Leftrightarrow g_n=\sum_{k}(-1)^{k}{n\brace k}f_k \]

那么根据斯特林反演和重要恒等式，我们可以导出四个上升幂、下降幂、普通幂之间的互推柿子，比较常用的是下面这个：

\[x^n=\sum_k(-1)^{n-k}{n\brace k}x^{\underline{k}} \]

斯特林数和差分也有着奇妙关系，主要是这个：

\[\Delta^mx^n|_{x=0}=m!{n\brace m} \]

其他就没什么了，还有就是分治 FFT 可以快速预处理斯特林数。