组合数和一些常用柿子
被教练分到了讲组合数，所以干脆写篇博客总结一下之前在《具体数学》中看到的公式
组合数，又称二项式系数，最早是由一类问题定义的：
n 个两两不相同的东西，任意选出 m 个，有多少种不同的方案？
这个问题的答案被称作组合数，记做 \(C_n^m\) 或 \(\binom nm\)，满足下列定义式：
\[\forall n,m\in \mathbb{N},m\leq n,C_n^m=\binom nm=\frac{n!}{m!(n-m)!}
\]
其中 n 被称为上指标，m 被称为下指标。\(n!\) 为阶乘，满足 \(0!=1,\forall n\in \mathbb{N+},n!=n\cdot (n-1)!=n(n-1)(n-2)\cdots1\)。
后来又有了牛顿二项式展开：
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nka^kb^{n-k}
\]
从而可以写出对于给定的 \(n\)，\(\binom nk\) 的生成函数：
\[G_n(x)=(1+x)^n=\sum_k \binom nk x^k
\]
而如果定义下降幂：
\[\forall n\in \mathbb{R},m\in \mathbb{N+},n^{0\downarrow}=1,n^{m\downarrow}=n\cdot (n-1)^{(m-1)\downarrow}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)
\]
我们可以扩展组合数的定义使 n 可以为实数：
\[\forall n\in \mathbb{R},k\in \mathbb{N},\binom nk = \frac{n^{k\downarrow}}{k!}
\]
同时定义：
\[\binom nk=0,\forall k\in\mathbb{Z-}
\]
注意到，根据上面的定义，我们有很反直觉的结论：
\[\binom 00 = 1
\]
还有一个奇妙定义就是：
\[0^0=1
\]
它使得二项式定理成立的条件更加宽泛。
那么通过上述定义，我们可以得到一些组合数的美妙性质：
- 加法公式（Addition Formula）：
\[\binom nk=\binom{n-1}k+\binom{n-1}{k-1},\forall n\in\mathbb{R},k\in\mathbb{Z}
\]
- 对称公式（Symmetry Identity）：
\[\binom nk=\binom{n}{n-k},\forall n,k\in\mathbb{N},k\leq n
\]
- 上指标反转（Negating the Upper Index）：
\[\binom nk=(-1)^k\binom{k-n-1}k,\forall n\in\mathbb{R},k\in\mathbb{Z}
\]
- 吸收公式（Absorption Identity）：
\[k\binom nk=n\binom{n-1}{k-1},(n-k)\binom nk =n\binom{n-1}k,\forall n\in\mathbb{R},k\in\mathbb{Z}
\]
- 上指标求和（Summation on the Upper Index）：
\[\binom 0m+\binom 1m+\cdots+\binom nm=\sum_{k=0}^n\binom km=\binom{n+1}{m+1},\forall n,m\in\mathbb{N}
\]
\[\binom n0+\binom{n+1}1+\cdots+\binom {n+m}m=\sum_{k=0}^m\binom{n+k}k=\binom{n+m+1}m,\forall n,m\in\mathbb{N}
\]
- 一行之和：
\[\sum_{k=0}^n \binom nk=(1+1)^n=2^n,\forall n\in\mathbb{N}
\]
- 交错和：
\[\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom nk=[n=0],\forall n\in\mathbb{N}
\]
以及最重要的
- 范德蒙德卷积（Vandermonde's Convolution）：
\[\sum_k\binom r{m+k}\binom s{n-k}=\binom{r+s}{m+n},\forall n,m\in\mathbb{Z}
\]
- 常用技巧：
\[\binom ni\binom ij=\binom nj\binom{n-j}{i-j}
\]
还有就是一个关于其组合意义的推广，如果有 \(n\) 个两两不同的物品，将其分为 \(m\) 组，第 \(i\) 组有 \(a_i\) 个物品，则方案数为：
\[\frac{n!}{a_1!a_2!\cdots a_m!}=\frac{n!}{\prod_{i=1}^ma_i!}
\]
理论全都讲完了，来做道题吧：
例题 求柿子的值：
\[\sum_k\binom nk^2\bmod (10^9+7)
\]
其中 \(n\leq 10^9\)。
分析 根据对称公式和范德蒙德卷积：
\[\sum_k\binom nk^2 =\sum_k\binom nk\binom nk =\sum_k\binom nk\binom n{n-k} =\binom{2n}n
\]
然后可以卢卡斯来做。
20200901 更新：看到《具体数学》一些奇妙的柿子，来更新一下：
部分和引导出的关系式：
\[\sum_{k\leq m}\binom{m+r}{k}x^ky^{m-k}=\sum_{k\leq m}\binom{-r}{k}(-x)^k(x+y)^{m-k},\forall m\in\mathbb{Z}
\]
当 \(x=-1,y=1\) 时（\(0^0=1\)）：
\[\sum_{k\leq m}\binom{m+r}k(-1)^k=\binom{-r}m
\]
当 \(x=y=1,r=m+1\) 时：
\[\sum_{k\leq m}\binom{2m+1}k=\sum_{k\leq m}\binom{m+k}k2^{m-k}
\]
而左边正好是行和的一半，所以
\[\sum_{k\leq m}\binom{m+k}k2^{m-k}=\frac{2^{2m+1}}2=2^{2m}
\]
即：
\[\sum_{k\leq m}\binom{m+k}k2^{-k}=2^m
\]
另，最后感受一下组合数乘积的魅力（
\[\sum_k\binom{m-r+s}k\binom{n+r-s}{n-k}\binom{r+k}{m+n}=\binom rm\binom sn,\forall m,n\in\mathbb{Z}
\]
\[\sum_k\binom{a+b}{a+k}\binom{b+c}{b+k}\binom{c+a}{c+k}(-1)^k=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!},\forall a,b,c\in{N}
\]
Dougall 的恒等式：
\[\sum_k\frac{\binom{a+b}{a+k}\binom{b+c}{b+k}\binom{c+d}{c+k}\binom{d+a}{d+k}}{\binom{2a+2b+2c+2d}{a+b+c+d+k}}=\frac{(a+b+c+d)!(a+b+c)!(a+b+d)!(a+c+d)!(b+c+d)!}{(2a+2b+2c+2d)!(a+c)!(b+d)!a!b!c!d!},\forall a,b,c,d\in\mathbb{N}
\]
