2024.7.5

2024.7.5 【向之所欣，俯仰之间，已为陈迹。】

Thursday 五月三十

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组合

数学！

可能公式比较多

二项式！

\[\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n-1\\m-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n-1 \\m\end{pmatrix} \]

\[\begin{pmatrix} n\\m \end{pmatrix} =\frac {m!}{n!(m-n)!} \]

非常常见的递推式和计算式

递推式即加法恒等式

计算式即阶乘展开式

所以

\[\begin{pmatrix} n \\m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\n-m \end{pmatrix} \]

称之为对称

\[\sum_{m=0}^{n}m\begin{pmatrix} n \\m \end{pmatrix} = \sum_{m=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m \\1 \end{pmatrix} =\sum_{m=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n-1 \\m-1 \end{pmatrix}=n\sum_{m=0}^{n}\begin{pmatrix} n-1 \\m-1 \end{pmatrix}=n\sum_{m=0}^{n-1}\begin{pmatrix} n-1 \\m \end{pmatrix}=n2^{n-1} \]

上面用到的这个

\[\begin{pmatrix} n \\r \end{pmatrix}\begin{pmatrix} r \\m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n-m \\r-m \end{pmatrix} \]

的公式，叫做吸收恒等式

其意义为在n个中选择r，在r个中选择m个，

等价于在n个中选择m个，再在剩余的n-m个中选r-m个

\[\sum_{0\le k \le n}\begin{pmatrix} k \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\m+1 \end{pmatrix} \]

这个叫做上指标求和

在形如

\[\begin{pmatrix} n \\m \end{pmatrix} \]

公式中，我们将n称作上指标，相应的，m为下指标

证明吗，考虑现实意义，

我们在m+1个数中，枚举第一个数选择第k+1个的时候，剩余的选择方案，

即

\[\begin{pmatrix} k \\m \end{pmatrix} \]

则，在总共m+1个数中，选取k+1个，即是枚举k的情况下，求解和值

至于下指标求和吗

\[\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\k \end{pmatrix} = 2^{n} \]

还是挺简单的吧/le

至于平行求和式

即

\[\sum_{k \le n}\begin{pmatrix} r+k\\r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r+n+1\\n \end{pmatrix} \]

证明：

\[\sum _{k=0}^{n}\begin{pmatrix} m+k\\k \end{pmatrix}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} m+k\\m \end{pmatrix}+0=\sum_{k=m}^{n+m}\begin{pmatrix} k\\m \end{pmatrix}+\sum_{k=0}^{m-1}\begin{pmatrix} k\\m \end{pmatrix}=\sum_{k=0}^{n+m}\begin{pmatrix} k\\m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m+n+1\\m+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} m+n+1\\n \end{pmatrix} \]

还是依据上指标求和解出来的

以及上指标反转

\[\begin{pmatrix} r\\k \end{pmatrix} = (-1)^{k}\begin{pmatrix} k-r-1\\k \end{pmatrix} \]

证明：

\[首先爆拆\\ \begin{pmatrix} r\\k \end{pmatrix} = \frac{r^{\underline{k} }}{k!} \\ \begin{pmatrix} k-r-1\\k \end{pmatrix} = \frac{(k-r-1)^{\underline{k}}}{k!} \\ r^{\underline{k}} = (-1)^k(k-r-1)^{\underline{k}} \\ r*(r-1)*...*(r-k+1) = (-1)^k*(k-r-1)*(k-r-2)*...*(-r) \\注意到\\ -r和r为相反数\\ r-k+1和k-r-1为相反数\\ 则k为奇数时前后刚好差一个负号， 则由(-1)^k补上 \]