树

树的定义

树是n(n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：

1.有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点

2.当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2，...,Tm，其中每一个集合本身又是一颗树，并且称为根的子树

结点的分类

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。

结点拥有的子树称为结点的度（Degree）。度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根节点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值

结点间的关系

结点的子树的根称为该结点的孩子，相应地，该结点称为孩子的双亲（Parent）。

同一个双亲的孩子之间互称兄弟。

结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点

以某一结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙

树的其他相关概念

结点的层次从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层

双亲在同一层的结点互为堂兄弟

树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度

如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树

森林（Forest）是m(m>=0)棵互不相交的树的集合

对比线性表与树的结构

线性结构	树结构
第一个数据元素：无前驱	根结点：无双亲，唯一
最后一个数据元素：无后继	叶节点：无孩子，可以多个
中间元素：一个前驱一个后继	中间结点：一个双亲多个孩子

二叉树（Binary Tree）

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两颗互不相交的，分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点

• 每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点，没有子树或者有一颗子树是可以的
• 左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒
• 即使树中某结点只有一颗子树，也要区分它是左子树还是右子树

二叉树具有以下五种基本形态

• 空二叉树
• 只有一个根结点
• 根节点只有左子树
• 根结点只有右子树
• 根节点既有左子树又有右子树

特殊二叉树

1.斜树

所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树，所有结点都只有右子树的二叉树叫右斜树

2.满二叉树

在一颗二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树

• 叶子只能出现在最下一层。出现在其他层就不可能达到平衡
• 非叶子结点的度一定是2.
• 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多

 3.完全二叉树

对一颗具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这课二叉树称为完全二叉树

完全二叉树的特点

• 叶子结点只能出现在最下两层
• 最下层的叶子一定集中在左部连续位置
• 倒数第两层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置
• 如果结点度为1，则该结点只有左子树，即不存在只有右子树的情况
• 同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小

 判断是否完全二叉树方法：给每个二叉树结点按照满二叉树的结构逐层顺序编号，如果编号出现空档，就说明不是完全二叉树。

二叉树的性质

1. 在二叉树的第i层至多有2^i-1个结点（i>=1）
2. 深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k>=1）
3. 对任何一颗二叉树T,如果其终端结点数n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度为log_2ⁿ+1
5. 如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，对任一结点i(1<=i<=n)有：
   • 如果i=1,则结点j是二叉树的根，无双亲；如果i>1,则其双亲是结点i/2
   • 如果2i>n，则结点无左孩子，否则左孩子为2i
   • 如果2i+1>n,则结点无右孩子，否则其右孩子是结点2i+1

二叉树的建立

BTree CreateBTree()
{
    BTree bt = NULL;
    char ch;
    scanf("%c", &ch);
    if (ch != '#')
    {
        bt = new BTNode;
        bt->data = ch;
        bt->lChild = CreateBTree();
        bt->rChild = CreateBTree();
    }
    return bt;
}

二叉树的遍历

/*二叉树的前序遍历递归算法*/
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
    return;
    printf("%c", T->data);  /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
    PreOrderTraverse(T->lchild);    /*再先序遍历左子树*/
    PreOrderTraverse(T->rchild);    /*最后先序遍历右子树*/
}


/*二叉树的中序遍历递归算法*/
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
    return;
    InOrderTraverse(T->lchild); /*中序遍历左子树*/
    printf("%c", T->data);  /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
    InOrderTraverse(T->rchild); /*最后中序遍历右子树*/
}


/*二叉树的后序遍历递归算法*/
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
    return;
    PostOrderTraverse(T->lchild);   /*先后序遍历左子树*/
    PostOrderTraverse(T->rchild);   /*再后续遍历右子树*/
    printf("%c", T->data);  /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
}