CF482A Diverse Permutation（贪心构造）题解

这里给出一种构造方法及其证明

方法：考虑从k开始依次构造差值，即第一个与第二个相差\(k\)，第二个与第三个相差\(k-1\)。首先假设第一个数为\(1\)，因此我们要把\(1+k\)放在第二个，那么第三个数应该为\(1+k-(k - 1) = 2\)，第四个为\(2+(k - 3) = k - 1\)，第五个为\(k - 1 - (k - 2) = 3\)，以此类推。

不难发现，其实整个序列的前半段就是由\(1,2,3...\)与\(k + 1, k, k - 1...\)插空排列成的，我们只需要设置两个变量\(i\)与\(j\)，分别从\(1\)开始递增，从\(k+1\)开始递减就行了。而剩下的就从\(k+2\)倒\(n\)依次排列就行了。

证明：为什么这样构造是对的呢？

首先，由于是依次构造差值，所以肯定包含了\(k\)个差值。我们考虑前半段构造的种植条件，即\(i \geq j\)时，更确切地，就是当\(i=j\)或\(i = j + 1\)时。因此，前半段的最后一项为\(\lfloor\frac{k}{2}\rfloor\)，而后半段的首项为\(k+2\)，它们的差为\(\frac{k}{2}\)或\(\frac{k}{2}+1\)，而这个差值肯定是包含在\(1-k\)之中的。

综上，这一构造方法是正确的。

代码实现

#include <cstdio>

using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 10;

int n,k;

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &k);
    int i = 1, j = i + k;
    while(1){
        printf("%d %d ", i ++, j --);
        if(i >= j){
            if(i == j) printf("%d ", i);
            break;
        }
    }
    for(int i = k + 2; i <= n; ++ i) printf("%d ", i);
    printf("\n");
    return 0;
}