谈谈通过简单函数列逼近可测函数-----实变函数

实变函数是用来干什么的？就目前我学到的而言，实变函数的重头戏是勒贝格积分，而勒贝格积分是为了处理一些在黎曼积分意义下不可积的函数，算是对黎曼积分的一种推广吧。

那么勒贝格是如何推广黎曼积分的呢？黎曼积分是要求当自变量变化很小时，函数值也应变化很小，从而可以在小区间中选一个点代表这个小区间参与求和。可以说黎曼积分是在实数系上为连续函数量身打造的积分，一旦函数不连续的点很多（比如有理数那么多），黎曼积分就失效了。但是勒贝格积分不一样，他不是根据自变量变化很小时，函数值也应变化很小这样一个相对而言和积分关系不大的条件，来求积分。勒贝格积分，将函数值从大到小劈成n份，然后计算这n份，每份的测度，用函数值来乘以测度再求和当作这个函数的积分。勒贝格说过一个比喻：我必须偿还一笔钱，如果我从口袋中随意摸出来不同面值的钞票，逐一还给债主直到全部还清，这就是黎曼积分；不过我还有一种作法，就是把钱全部拿出来并把相同面值的钞票放在一起，然后再一起付给应还的数目，这就是我的积分。

为什么要讲这么多关于勒贝格积分的知识呢？我们要讨论的明明是用简单函数逼近可测函数。因为我们要明白实变这门课程的目的是什么？我们中间所学的所有定理，都是为了最终的那个目的，都是为了解决某个问题，或加深对某个事物的理解。通过介绍勒贝格积分，我们可以了解我们最终要解决什么问题，在这个定理的证明中，我们也可以对勒贝格积分的内涵可见一斑。

定理内容：设f(x)是E上非负可测函数，则存在E上非负递增的单调函数列{Φ_n（x）| n€N},使得∀x€E,limn_→无穷Φ_n(x) = f(x)

定理首先构造了简单函数列函数，然后证明它是递增的，取极限为f(x)，并且当f(x)有限时也可以做到一致收敛。函数列的构造一开始确实让人很懵，但是我们要知道实变的最终目的是为了勒贝格积分，又可知可测函数是简单函数列的极限。有了这些知识，我们可以举个函数作为例子，看看对于这个函数，函数列是如何构造的。

 

这个函数在趋近于负无穷时，函数值趋近于0，在趋近于正无穷时，趋近于正无穷。从这方面可以看出，对于每个简单函数，我们将它按照f(x)在（0，n）的范围内分为n2^n份，从而使简单函数列逼近函数。又可以看出当f(x)有限时，我们对于任意一个x我们都可以找到一个共同N，使得简单函数列的极限与f(x)的距离小于2^-n,即为f(x)与简单函数列的极限任意小，就是一致收敛。而当f(x)不是有限的时候，我们无法找到一个这样的N，N只有趋近于正无穷，才能去逼近f(x)，才能去收敛极限为f(x),从而不是一致收敛的。