AcWing 222. 青蛙的约会

题目链接

设他们一共跳了 \(t\) 次，那么 A 青蛙跳到了 \((x+mt)\bmod L\)，B 青蛙跳到了 \((y+nt)\bmod L\)

可列同余方程 \(x+mt\equiv y+nt\pmod L\)

可转化为 \(x+mt=y+nt+kL,(k\in Z)\)

整理得 \((m-n)t-Lk=y-x\)

这部分可由扩展欧几里得求出，当 \(\gcd(m-n,L)\nmid y-x\) 即不可能碰面。

题目要求求最小的，我们现在已经求出来其中一个解了，\(x=x_0+K\frac{b}{d},(d 表示 \gcd,K\in Z)\) 带入我们这道题得，\(ans=t+K\frac{L}{d}\) （这里得 \(t\) 是已经扩大了得，即 \(t='t\frac{y-x}{\gcd(m-n,L)}\)）一开始我让我疑问的是，为什么这里（即 \(x=x_0+K\frac{b}{d}\)）不能写成 \(x=x_0+Kb\) 后来经过思考才发现，这个解少了，精度太小了，所以才会让这道题 WA。

所以我们最后取模的数应是 \(\frac{b}{d}\)

\(\mathscr{Code:}\)

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
#define rep(i, a, b) for (int i = a, END##i = b; i <= END##i; i++)
#define per(i, a, b) for (int i = a, END##i = b; i >= END##i; i--)
#define DEBUG(x) cerr << #x << " = " << x << '\n'
using LL = long long;
using ULL = unsigned long long;
typedef pair<int, int> PII;

inline LL read() {
    LL s = 0, fu = 1; char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') ch == '-' ? fu = -1 : 0, ch = getchar();
    while (ch >= '0' && ch <= '9') s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
    return s * fu;
}

const int Mod = 1e9 + 7;
const int Inf = 0x3f3f3f3f;
const LL InfLL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

// const int N = 
int x, y, m, n, L;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

signed main() {
    x = read(), y = read(), m = read(), n = read(), L = read();
    int a = m - n, b = L, x1, y1;
    int d = exgcd(a, b, x1, y1);
    if ((y - x) % d) puts("Impossible");
    else {
        x = (y - x) / d * x1;
        int t = abs(L / d);
        printf("%d\n", (x % t + t) % t);
    }
    return 0;
}