Catalan 数

给 \(n\) 个 \(0\) 和 \(n\) 个 \(1\)，排列成长度为 \(2n\) 的序列，满足在任意位置 \(0\) 的个数都小于 \(1\) 的个数。

\(Cat_n=\frac{C_{2n}^n}{n+1}\)

证明：不证。

与 Catalan 数有关的问题：

• \(n\) 个左括号和 \(n\) 个右括号组成的合法括号数为 \(Cat_n\)
• \(1,2,...,n\) 经过一个栈，合法的出栈数量为 \(Cat_n\)
• \(n\) 个节点组成的不同的二叉树的数量为 \(Cat_n\)
• 在平面直角坐标系中，向上或向右走，从 \((0,0)\) 走到 \((n,n)\) 除去两个端点不触碰 \(y=x\) 这条直线，路线数量为 \(2Cat_{n-1}\)