AcWing 4546. 最大和加强加强版

看到数据范围 \(n\times m \le 5\times 10^7\) 就可以猜出来状态肯定是 \(f_{i, j}\) 的，然后用滚动数组优化，或者直接用类似于 \(01\) 背包的方法优化。

我们设 \(f_{i, j}\) 表示，对于前 \(i\) 个数，已经找到了 \(j\) 个组，且第 \(i\) 个数属于 \(j\) 组，那么可以列转移式：

\[\begin{aligned}f_{i, j} = \max\{\max\limits_{k=1}^{i-1}\{f_{k, j - 1}\},f_{i-1,j}\}+a_i\end{aligned} \]

左边的东西表示，第 \(j-1\) 组结束，开始选第 \(j\) 组，第 \(j\) 组第一个是 \(a_i\)，右边的表示把 \(i\) 加入到 \(j\) 组中，第 \(i\) 个数不是开头。

可以显然发现会超时，我们可以在计算左边的东西时，直接用 \(g_{j}\) 辅助一下（注意：要倒着循环，不然会错的，因为如果正着循环，会更新了在 \(i\) 时更新的数 \(g_{j}\)）

// #define FILE_INPUT
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
using namespace std;
// #define int long long

#define rep(i, a, b) for (int i = a, END##i = b; i <= END##i; i++)
#define per(i, a, b) for (int i = a, END##i = b; i >= END##i; i--)

void Init();
void Solve();

signed main() {
    cin.sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    #ifdef FILE_INPUT
        freopen("input.in", "r", stdin);
    #endif

    int T = 1;
    // cin >> T;
    while (T--) {
        Init();
        Solve();
    }
    return 0;
}

using LL = long long;
using ULL = unsigned long long;

const int Mod = 1e9 + 7;
const int Inf = 0x3f3f3f3f;
const LL InfLL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

const int N = 1e6 + 10, M = 1010;
LL m, n, f[2][M], a[N], g[M];

void Init() {
}

#define max(x, y) (x > y ? x : y) // 少用，递归的时候时间复杂度会爆炸
#define min(x, y) (x < y ? x : y) // 少用，递归的时候时间复杂度会爆炸

void Solve() {
    while (cin >> m >> n) {
        rep(i, 1, n) cin >> a[i];
        memset(f, -0x3f, sizeof(f));
        memset(g, -0x3f, sizeof(g));
        f[0][0] = f[1][0] = 0;
        g[0] = 0;
        rep(i, 1, n) {
            int t = min(i, m);
            per(j, t, 1) {
                f[i & 1][j] = max(g[j - 1], f[i - 1 & 1][j]) + a[i];
                g[j] = max(g[j], f[i & 1][j]);
            }
        }
        cout << g[m] << "\n";
    }
}

然后呢我们还可以再进行优化（虽然没有必要了），用类似于 \(01\) 背包的东西优化，把 \(f\) 数组直接变成一维的。

// #define FILE_INPUT
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
using namespace std;
// #define int long long

#define rep(i, a, b) for (int i = a, END##i = b; i <= END##i; i++)
#define per(i, a, b) for (int i = a, END##i = b; i >= END##i; i--)

void Init();
void Solve();

signed main() {
    cin.sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    #ifdef FILE_INPUT
        freopen("input.in", "r", stdin);
    #endif

    int T = 1;
    // cin >> T;
    while (T--) {
        Init();
        Solve();
    }
    return 0;
}

using LL = long long;
using ULL = unsigned long long;

const int Mod = 1e9 + 7;
const int Inf = 0x3f3f3f3f;
const LL InfLL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

const int N = 1e6 + 10, M = 1010;
LL m, n, f[M], a[N], g[M];

void Init() {
}

#define max(x, y) (x > y ? x : y) // 少用，递归的时候时间复杂度会爆炸
#define min(x, y) (x < y ? x : y) // 少用，递归的时候时间复杂度会爆炸

void Solve() {
    while (cin >> m >> n) {
        rep(i, 1, n) cin >> a[i];
        memset(f, -0x3f, sizeof(f));
        memset(g, -0x3f, sizeof(g));
        f[0] = 0;
        g[0] = 0;
        rep(i, 1, n) {
            int t = min(i, m);
            per(j, t, 1) {
                f[j] = max(g[j - 1], f[j]) + a[i];
                g[j] = max(g[j], f[j]);
            }
        }
        cout << g[m] << "\n";
    }
}

注意：\(n,m\) 不要写反了，边界一定要处理好