原题

　　You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.
　　Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

题目大意

　　你正在爬一个楼梯，要走n步才干到达顶部，每次你能够走两步或者一步，请问你有多少种不同的方法爬到顶部。

解题思路

　　解法一：用组合数的思想求解，分以下的情况，没有一次走两个台阶的有C(0, n)。仅仅一次走两个台阶C(1, n-1)，仅仅二次走两个台阶。C(2, n-2)，直到仅仅有[n/2]（向下取整）次走两个台阶。其和就是全部的解法。
　　解法二：使用分治法，对n个台阶，用一个数组保存其解。a[1] = 1。a[2] = 2, k >= 2。有a[k] = a[k-1]+a[k-2].

代码实现

算法实现类，解法一

public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n < 0) {
            return 0;
        } else {
            int result = 0;
            for (int i = 0; i <= n; i++, n--) {
                result += combination(i, n);
            }
            return result;
        }
    }

    /**
     * 求组合数
     *
     * @param sup 上标
     * @param sub 下标
     * @return 结果
     */
    private int combination(int sup, int sub) {

        if (sup > sub || sup < 0 || sub < 0) {
            throw new RuntimeException("Error args");
        }

        if (sup == 0) {
            return 1;
        }

        if (sup > sub / 2) {
            sup = sub - sup;
        }

        long x = 1; // 分母的积
        long y = 1; // 分子的积
        long z;
        for (int i = 1; i <= sup; i++) {
            x *= (sub - i + 1);
            y *= i;
            z = gcd(x, y); // 找最大公约数
            // 分子分母都缩小最大公约数倍
            x /= z;
            y /= z;
        }

        return (int) (x / y);
    }

    private int gcd(long min, long max) {
        long tmp;
        if (max < min) {
            tmp = min;
            min = max;
            max = tmp;
        }

        while (max % min != 0) {
            tmp = min;
            min = max % min;
            max = tmp;
        }

        return (int) min;
    }
}

算法实现类。解法二

public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {

        int result = 0;

        // 仅仅有一阶
        if (n == 1) {
            result = 1;
        }
        // 仅仅有两阶
        else if (n == 2) {
            result = 2;
        }
        // 楼梯阶数大于2
        else if (n > 2) {
            // 保存全部的解法
            int[] ways = new int[n];

            ways[0] = 1;
            ways[1] = 2;

            for (int i = 2; i < ways.length; i++) {
                ways[i] = ways[i - 1] + ways[i - 2];
            }

            result = ways[ways.length - 1];
        }

        return result;
    }
}