bzoj1006 [HNOI2008]神奇的国度

Description

K国是一个热衷三角形的国度,连人的交往也只喜欢三角原则.他们认为三角关系:即AB相互认识,BC相互认识,CA相互认识,是简洁高效的.为了巩固三角关系,K国禁止四边关系,五边关系等等的存在.所谓N边关系,是指N个人 A1A2...An之间仅存在N对认识关系:(A1A2)(A2A3)...(AnA1),而没有其它认识关系.比如四边关系指ABCD四个人 AB,BC,CD,DA相互认识,而AC,BD不认识.全民比赛时,为了防止做弊，规定任意一对相互认识的人不得在一队，国王相知道，最少可以分多少支队。

Input

第一行两个整数N，M。1<=N<=10000,1<=M<=1000000.表示有N个人，M对认识关系. 接下来M行每行输入一对朋友

Output

输出一个整数，最少可以分多少队

Sample Input

4 5
1 2
1 4
2 4
2 3
3 4

Sample Output

3

HINT

一种方案(1,3)(2)(4)

 

正解：弦图+最小染色。

详见$CDQ$的《弦图与区间图》，然后也膜了一下xlightgod。。

子图：概念显然。。

诱导子图：对于一个子图里的点，所有的边都在这个图上。

团：完全图。

极大团、最大团：不是其他团子集的团；含有点数最多的团。

最小染色：用最少的颜色给点染色使得相邻点颜色不同。

最大独立集：最大的使任意两个点不相邻的点集。

最小团覆盖：能够覆盖所有点的最小团数。

显然：

最大团大小<=最小染色（团中所有点必须颜色互不相同）

最大独立集<=最小团覆盖（不相邻的两个点不可能在同一个团中）

这道题用到了一些新的概念：

弦：连接环中不相邻两个点的边。

弦图：图中任意一个大于$3$的环都有弦的无向图。也被形象地称为三角图。

单纯点：与它所有相邻的点构成的诱导子图为团的点。

完美消除序列：每次从图中去掉一个单纯点形成的点的序列。

那么一个无向图是弦图当且仅当它有一个完美消除序列。

然后就是求完美消除序列了，这里使用的是最大势$(MCS)$算法。

每个点记录一个势，表示与它相邻的已经在完美消除序列的点的个数。

先把$n$号点弄出来，然后每次把势最大的弄出来，这样依次求出的点的逆序就是完美消除序列，使用链表可以让复杂度降至$O(n)$。

然后这道题说禁止“四边关系”，“五边关系”等，显然是一个弦图，这题是求一个弦图的最小染色。

求最小染色有一个很简单的方法，按照完美消除序列的逆序依次判断点的颜色，与相邻点的颜色不同就行了，这样可以保证求出来的是最小染色。

于是这题我们就成功地解决了。

 

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#define inf (1<<30)
#define N (200010)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

vector <int> ep[N];

struct edge{ int nt,to; }g[10*N];

int head[N],s[N],l[N],p[N],f[N],col[N],n,m,num,ans,best;

il int gi(){
    RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
    while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
    while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return q*x;
}

il void insert(RG int from,RG int to){
    g[++num]=(edge){head[from],to},head[from]=num; return;
}

il void work(){
    n=gi(),m=gi(); for (RG int i=1;i<=n;++i) ep[0].push_back(i);
    for (RG int i=1,u,v;i<=m;++i) u=gi(),v=gi(),insert(u,v),insert(v,u);
    for (RG int i=n,now;i;--i){
    while (1){
        now=ep[best].back(); if (!l[now]) break;
        ep[best].pop_back(); while (ep[best].empty()) --best;
    }
    l[now]=i,p[i]=now;
    for (RG int j=head[now],v;j;j=g[j].nt)
        v=g[j].to,ep[++s[v]].push_back(v),best=max(best,s[v]),f[col[v]]=i;
    for (RG int j=1;;++j) if (f[j]!=i){ col[now]=j; break; } ans=max(ans,col[now]);
    }
    printf("%d\n",ans); return;
}

int main(){
    File("country");
    work();
    return 0;
}