杜教筛 && bzoj3944 Sum

Description

Input

一共T+1行

第1行为数据组数T(T<=10)

第2~T+1行每行一个非负整数N，代表一组询问

Output

一共T行，每行两个用空格分隔的数ans1,ans2

Sample Input

6
1
2
8
13
30
2333

Sample Output

1 1
2 0
22 -2
58 -3
278 -3
1655470 2

 

正解：线性筛+杜教筛。

杜教筛板子题。然而感觉自己还不是很理解的样子。。

唐老师博客：http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009

xLightGod博客：http://blog.xlightgod.com/dirichlet%E5%8D%B7%E7%A7%AF%E4%B8%8E%E6%9D%9C%E6%95%99%E7%AD%9B/

 

杜教筛可以在低于线性复杂度的时间内求出一些积性函数的前缀和。

为了更快地求$F(i)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$，我们构造一个函数$g(n)$，求出$(f*g)(n)$的前缀和。

$\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})=\sum_{ij<=n}f(i)g(j)=\sum_{i=1}^{n}g(i)F(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$

所以$g(1)F(n)=\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum_{i=2}^{n}g(i)F(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$

于是我们的目标就是快速求出$\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)$和$g(i)$的前缀和。这样我们的复杂度就是$O(n^{\frac{3}{4}})$，如果我们将$O(n^{\frac{2}{3}})$以内的$F(i)$预处理，那么复杂度就可以降到$O(n^{\frac{2}{3}})$（复杂度怎么证。。）

$g$一般取恒等函数$I$。

 

所以求$\sum_{i=1}^{n}\mu(i)$，那就是求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\mu(d)-\sum_{i=2}^{n}F(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$

则$Ans=1-\sum_{i=2}^{n}F(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$

求$\sum_{i=1}^{n}\phi(i)$，那就是求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\phi(d)-\sum_{i=2}^{n}F(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$

则$Ans=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^{n}F(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$

于是$Ans$的后面那一坨我们用记忆化搜索，空间开不了？？我是用的map。开始先把2500000以内的答案线性筛预处理出来，然后搜索即可。（为什么是2500000，因为我发现这样快一些。。复杂度太玄学了。。）

 

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <complex>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define inf (1<<30)
#define N (2500010)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

struct node{ ll phi,mu; }ans;

map <ll,ll> Phi,Mu;
ll vis[N],phi[N],mu[N],prime[N],n,cnt;

il ll gi(){
    RG ll x=0,q=1; RG char ch=getchar(); while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return q*x;
}

il void sieve(){
    vis[1]=phi[1]=mu[1]=1;
    for (RG ll i=2;i<N;++i){
    if (!vis[i]) phi[i]=i-1,mu[i]=-1,prime[++cnt]=i;
    for (RG ll j=1,k=i*prime[j];j<=cnt && k<N;++j,k=i*prime[j]){
        vis[k]=1;
        if (i%prime[j]) phi[k]=phi[i]*phi[prime[j]],mu[k]=-mu[i];
        else{ phi[k]=phi[i]*prime[j]; break; }
    }
    }
    for (RG ll i=2;i<N;++i) phi[i]+=phi[i-1],mu[i]+=mu[i-1]; return;
}

il node du(RG ll n){
    if (n<N) return (node){phi[n],mu[n]};
    if (Phi[n]) return (node){Phi[n],Mu[n]};
    RG ll ans1=n*(n+1)>>1,ans2=1,pos=0; RG node res;
    for (RG ll i=2;i<=n;i=pos+1){
    pos=n/(n/i),res=du(n/i);
    ans1-=(pos-i+1)*res.phi;
    ans2-=(pos-i+1)*res.mu;
    }
    Phi[n]=ans1,Mu[n]=ans2;
    return (node){ans1,ans2};
}

il void work(){
    n=gi(); ans=du(n);
    printf("%lld %lld\n",ans.phi,ans.mu);
    return;
}

int main(){
    File("du");
    sieve(); RG ll T=gi();
    while (T--) work();
    return 0;
}