bzoj2301 [HAOI2011]Problem b

Description

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

Input

第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k

Output

共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数

Sample Input

2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2

Sample Output

14
3

HINT

100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000

 

正解：莫比乌斯函数。

莫比乌斯函数板子题。。我能说我是为了刷题量才做这题的吗。。

易知$Ans=\sum_{i=1}^{b}\sum_{j=1}^{d}[\gcd(i,j)==k]-\sum_{i=1}^{a-1}\sum_{j=1}^{d}[\gcd(i,j)==k]-\sum_{i=1}^{b}\sum_{j=1}^{c-1}[\gcd(i,j)==k]+\sum_{i=1}^{a-1}\sum_{j=1}^{b-1}[\gcd(i,j)==k]$

于是变成最裸的莫比乌斯函数推导。同除以k，然后把$\mu(p)$的枚举提前，各种套路。。

最后是$Ans=\sum_{p=1}^{min(\frac{b}{k},\frac{d}{k})}\mu(p)\left \lfloor \frac{b}{kp} \right \rfloor\left \lfloor \frac{d}{kp} \right \rfloor-\sum_{p=1}^{min(\frac{a-1}{k},\frac{d}{k})}\mu(p)\left \lfloor \frac{a-1}{kp} \right \rfloor\left \lfloor \frac{d}{kp} \right \rfloor-\sum_{p=1}^{min(\frac{b}{k},\frac{c-1}{k})}\mu(p)\left \lfloor \frac{b}{kp} \right \rfloor\left \lfloor \frac{c-1}{kp} \right \rfloor
\sum_{p=1}^{min(\frac{a-1}{k},\frac{c-1}{k})}\mu(p)\left \lfloor \frac{a-1}{kp} \right \rfloor\left \lfloor \frac{c-1}{kp} \right \rfloor$

然后数论分块，这道题就做完了。

 

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <complex>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define inf (1<<30)
#define N (50010)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

int vis[N],mu[N],prime[N],n,m,a,b,c,d,k,cnt,pos;
ll ans;

il int gi(){
    RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return q*x;
}

il void sieve(){
    vis[1]=mu[1]=1;
    for (RG int i=2;i<N;++i){
    if (!vis[i]) vis[i]=1,mu[i]=-1,prime[++cnt]=i;
    for (RG int j=1,k=i*prime[j];j<=cnt && k<N;++j,k=i*prime[j]){
        vis[k]=1; if (i%prime[j]) mu[k]=-mu[i]; else break;
    }
    }
    for (RG int i=1;i<N;++i) mu[i]+=mu[i-1]; return;
}

il void work(){
    a=gi(),b=gi(),c=gi(),d=gi(),k=gi();
    n=b/k,m=d/k,pos=0,ans=0; if (n>m) swap(n,m);
    for (RG int i=1;i<=n;i=pos+1){
    pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
    ans+=(ll)(mu[pos]-mu[i-1])*(ll)(n/i)*(ll)(m/i);
    }
    n=(a-1)/k,m=d/k,pos=0; if (n>m) swap(n,m);
    for (RG int i=1;i<=n;i=pos+1){
    pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
    ans-=(ll)(mu[pos]-mu[i-1])*(ll)(n/i)*(ll)(m/i);
    }
    n=b/k,m=(c-1)/k,pos=0; if (n>m) swap(n,m);
    for (RG int i=1;i<=n;i=pos+1){
    pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
    ans-=(ll)(mu[pos]-mu[i-1])*(ll)(n/i)*(ll)(m/i);
    }
    n=(a-1)/k,m=(c-1)/k,pos=0; if (n>m) swap(n,m);
    for (RG int i=1;i<=n;i=pos+1){
    pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
    ans+=(ll)(mu[pos]-mu[i-1])*(ll)(n/i)*(ll)(m/i);
    }
    printf("%lld\n",ans); return;
}

int main(){
    File("b");
    sieve();
    RG int T=gi();
    while (T--) work();
    return 0;
}