树的直径

树的直径

树上任意两节点之间最长的简单路径即为树的直径。

即树上最长的链

显然树可以有多条直径

SPOJ PT07Z

模版

树的直径两种求法，时间复杂度均为\(O(n)\)

常用的是两遍dfs

第一遍dfs从任一点开始，找到可以到达的最远点，这个最远点就是直径的一个端点，第二遍dfs再从这一端点出发，再一次去找可以到达的最远点，这个点就是直径的另一端点

正确性证明

void dfs(int i,int fa){
	f[i]=fa,maxdep[i]=dis[i];
	if(dis[i]>maxn){
		maxn=dis[i];
		id=i;
	}
	for(int j=head[i];~j;j=e[j].next){
		int v=e[j].v;
		if(v==fa||flg[v])continue;
		dis[v]=dis[i]+1;
		dfs(v,i);
		maxdep[i]=max(maxdep[i],maxdep[v]);
	}
}
void gettree(){
	maxn=-1;
	dfs(1,0);
	int beginpoint=id;
	maxn=-1,dis[bp]=0;
	dfs(bp,0);
	int endpoint=id;
}

缺点是不可用于含有负权的树

第二种方法是dp

维护每个点向下延伸的最长距离\(d1[i]\)和\(d2[i]\)，树的直径的长度即为\(max\{d1[i]+d2[i]\}\)

void dfs(int i,int fa){
	for(int j=head[i];~j;j=e[j].next){
		int v=e[j].v;
		if(v!=fa){
			dfs(v,i);
			if(d1[v]+1>d1[i]){
				d2[i]=d1[i];
				d1[i]=d1[v]+1;
			}else if(d1[v]+1>d2[i]){
				d2[i]=d1[v]+1;
			}
		}
	}
	ans=max(ans,d1[i]+d2[i]);
}

可以用于含有负权的树

P1099&P2491

在直径上找到一段不超过限制长度的路径\(F\)，使得\(F\)外节点到\(F\)的最大距离（偏心距）最小

比较暴力的做法是，先求出直径，然后分别从直径上的每个点开始，沿直径延伸到达最远的点，这样确定了路径\(F\)，然后dfs统计答案。确定路径\(F\)时可以使用双指针法，这样时间复杂度为\(O(n^2)\)。实际上，偏心距只能是直径的两端点到路径\(F\)两端的距离较大者，设为\(x\)，或者直径上的一点不经过直径上的点所到达的最远距离，设为\(y\)。前者显然，所以计算偏心距时，对于双指针找出的每一段路径\(F\)，偏心距取所有\(x\)的距离的最小值，其他情况必然更劣，然后dfs与所有\(y\)取最大值。

可能疑惑：是否可能存在一条\(y\)，它在直径上的端点不在所选取的\(F\)上，导致所得的偏心距偏小，实际上是不可能的，这样违背了直径最长的性质。最终的时间复杂度是\(O(n)\)

void dfs(int i,int fa){
	f[i]=fa;
	if(d[i]>maxn){
		maxn=d[i];
		id=i;
	}
	for(int j=head[i];~j;j=e[j].next){
		int v=e[j].v,w=e[j].w;
		if(v!=fa&&!vis[v]){
			d[v]=d[i]+w;
			dfs(v,i);
		}
	}
}
int main(){
	memset(head,-1,sizeof(head));
	n=read(),s=read();
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u=read(),v=read(),w=read();
		addedge(u,v,w);addedge(v,u,w);
	}
	int bp,ep;
	dfs(1,0);
	bp=id;
	d[bp]=0;maxn=0;
	dfs(bp,0);
	ep=id;
	for(int i=ep,j=ep;i;i=f[i]){//双指针
		while(d[j]-d[i]>s)j=f[j];
		ans=min(ans,max(d[i],d[ep]-d[j]));
	}
	for(int i=ep;i;i=f[i]){//这个for不要和下面的for写到一起
		vis[i]=1;
	}
	for(int i=ep;i;i=f[i]){
		d[i]=0;
		dfs(i,f[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans=max(ans,d[i]);
	}
	cout<<ans<<"\n";
	return 0;
}

P4408

可以知道，其中一条路径是树的直径，那么考虑另一条路径的选取，设该路径为\(F\)，可以知道\(F\)的一个端点是直径的一个端点，于是求出所有点到直径两个端点的距离\(d1\)和\(d2\)，根据题目描述，各个点所能的贡献最长距离\(d[i]=min\{d1[i],d2[i]\}\),路径\(F\)的长度为\(max\{d[i]\}\)

long long

P5536

找一个大小为\(k\)的联通块，使联通块之外点到联通块的最大距离最小

与树网的核不同，\(k\)可能大于直径

易知树的直径的中点是必选的，因为直径中点到所有叶子的最大距离最小（否则违背了直径最长性质），如果不选一定更劣。由此，从直径中点dfs计算每个点的深度\(dep[i]\)和可以到达的最大距离\(maxdep[i]\)，按照\(maxdep[i]-dep[i]\)排序，优先选择较大者

void dfs(int i,int fa){
	f[i]=fa,maxdep[i]=dis[i];
	if(dis[i]>maxn){
		maxn=dis[i];
		id=i;
	}
	for(int j=head[i];~j;j=e[j].next){
		int v=e[j].v;
		if(v==fa||flg[v])continue;
		dis[v]=dis[i]+1;
		dfs(v,i);
		maxdep[i]=max(maxdep[i],maxdep[v]);
	}
}
int main(){
	memset(head,-1,sizeof(head));
	n=read(),k=read();	
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u=read(),v=read();
		addedge(u,v);addedge(v,u);
	}
	maxn=-1;
	dfs(1,0);
	int bp=id;
	maxn=-1,dis[bp]=0;
	dfs(bp,0);
	int ep=id;
	int mid=0;
	for(int j=0,i=ep;j<=dis[ep]/2;j++,i=f[i])
		mid=i;
	dis[mid]=0;
	dfs(mid,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		maxdep[i]=maxdep[i]-dis[i];
	sort(maxdep+1,maxdep+n+1);
	for(int i=1;i<=n-k;i++)
		ans=max(ans,maxdep[i]);
	cout<<ans+1<<"\n";
	return 0;
}