树的重心

树的重心

性质：一个点是重心，等价于，以这个点为根，它的每个子树的大小，都不会超过整个树大小的一半（充要条件）

性质及其证明

POJ3107

模板

这题卡vector

注意判断数组越界

void dfs(int i,int fa){
	siz[i]=1;
	int tmp=0;
	for(int j=head[i];~j;j=e[j].next){
		int v=e[j].to;
		if(v!=fa){
			dfs(v,i);
			siz[i]+=siz[v];
			tmp=max(tmp,siz[v]);
		}
	}
	tmp=max(tmp,n-siz[i]);
	if(tmp<minn){
		minn=tmp;
		pos=1;
		ans[pos]=i;
	}else if(tmp==minn){
		ans[++pos]=i;
	}
}

CF359(div1)B Kay and Snowflake

给定一棵树，根为\(1\)，找到所有子树的重心

性质

设当前子树的根为\(u\)，子节点为\(v_i\)，\(hc(u)\)表示以\(u\)为根的子树的重心

则\(hc(u)\)在路径\((u,hc(v_i))\)上

即当前子树的重心，在当前子树的子树的重心到当前子树的根的路径上

通过这个性质，这道题首先递归初始化数组，然后自下而上地，让子节点的重心向上跳，来得到父节点的重心

void dfs(int i,int fa){
	siz[i]=1;
	ans[i]=i;
	for(int j=0;j<(int)a[i].size();j++){
		int v=a[i][j];
		if(v!=fa){
			dfs(v,i);
			siz[i]+=siz[v];
			maxn[i]=max(maxn[i],siz[v]);
		}
	}
	for(int j=0;j<(int)a[i].size();j++){
		int v=a[i][j];
		if(v!=fa){
			int k=ans[v];
			while(k!=i){
				if(max(maxn[k],siz[i]-siz[k])<=siz[i]/2){
					ans[i]=k;
					break;
				}else k=f[k];
			}
		}	
	}
}

CF670(div2)C Link Cut Centroids

给定一棵节点数为\(n\)的树，删一条边然后加上一条边，使得该树的重心唯一（删掉的边和加上的边可以是同一条）

如果这棵树只有一个重心，就任选一边去删，然后再加回来

如果这棵树有两个重心，那么有这样的性质

这两个重心一定相邻，删掉这两点之间的边，获得的两棵子树大小相等

所以只需让这两棵树大小不相等，从其中一棵树删边，再加到另一棵树上即可

P5666

给定一棵树，求单独删除每一条边后分裂出的两棵子树的重心编号之和

换根+倍增

性质

设当前子树的根为\(u\)，重子节点为\(v\)，\(hc(u)\)表示以\(u\)为根的子树的重心

若\(x\)不是\(hc(u)\)，则\(hc(u)\)在以\(v\)为根的子树上

即如果根不是当前子树的重心，那么当前子树的重心在重子子树上

于是定义\(hs[u][k]\)表示\(u\)节点向重子方向跳\(2^k\)步所到达的节点

\(hs[u][0]\)即为\(u\)节点的重子

对于每一条边\((u,v)\)，不妨设\(u\)为父节点，\(v\)为子节点

分别处理以\(u\)为根和以\(v\)为根的两棵子树

对于\(v\)子树

直接向下倍增找到重心即可

判断重心利用性质一个点是重心，等价于，以这个点为根，它的每个子树的大小，都不会超过整个树大小的一半（充要条件）

对于\(u\)子树

首先维护\(siz[u]\)

然后考虑到\(v\)节点可能是\(u\)节点的重子，而此时两棵树已经分裂，所以要额外维护各个节点的次重子

定义\(shs[u]\)表示\(u\)节点的次重子

所以当\(v==hs[u][0]\)时，令\(hs[u][0]=shs[u]\)

另外，当前\(u\)节点的重子还有可能是\(u\)节点的父节点

定义\(f[u]\)表示\(u\)节点的父节点

如果\(siz[f[u]]>siz[hs[u][0]]\)，令\(hs[u][0]=f[u]\)

由于重子的改变，所以更新\(hs\)数组

最后向下倍增找到重心即可

分别处理完以\(u\)为根和以\(v\)为根的两棵子树后

维护\(f[u]=v\)，然后递归

在处理完所有\(u\)节点的子节点\(v\)后，恢复\(hs[u][0],siz[u],f[u]\)和\(hs\)数组

ps：对于存在两个重心的情况，判断倍增得到的重心的父节点是否为重心

void init(int i,int fa){
	siz[i]=1;
	for(int j=head[i];~j;j=e[j].next){
		int v=e[j].v;
		if(v==fa)continue;
		f[v]=i;
		init(v,i);
		siz[i]+=siz[v];
		if(siz[v]>siz[hs[i][0]]){
			shs[i]=hs[i][0];
			hs[i][0]=v;
		}else if(siz[v]>siz[shs[i]]){
			shs[i]=v;
		}
	}
	for(int k=1;k<=20;k++){
		hs[i][k]=hs[hs[i][k-1]][k-1];
	}
}
bool check(int i,int s){
	return max(s-siz[i],siz[hs[i][0]])<=(s/2);
}
void update(int i){
	for(int k=1;k<=20;k++){
		hs[i][k]=hs[hs[i][k-1]][k-1];
	}
}
void dfs(int i,int fa){
	int prehs=hs[i][0],presiz=siz[i];
	for(int j=head[i];~j;j=e[j].next){
		int v=e[j].v;
		if(v==fa)continue;
		
		if(v==prehs)hs[i][0]=shs[i];
		else hs[i][0]=prehs;
		if(siz[fa]>siz[hs[i][0]])hs[i][0]=fa;
		
		update(i);
		
		siz[i]=n-siz[v],f[i]=0,f[v]=0;
		
		int p=i;
		for(int k=20;~k;k--)
			if(siz[i]-siz[hs[p][k]]<=(siz[i]/2))
				p=hs[p][k];
		ans+=p+f[p]*check(f[p],siz[i]);
		
		p=v;
		for(int k=20;~k;k--)
			if(siz[v]-siz[hs[p][k]]<=(siz[v]/2))
				p=hs[p][k];
		ans+=p+f[p]*check(f[p],siz[v]);
		
		f[i]=v;
		
		dfs(v,i);
	}
	hs[i][0]=prehs,siz[i]=presiz,f[i]=fa,update(i);
}